5.3 剪  切
【内容提要】
本讲主要讲连接件和被连接件的受力分析，区分剪切面与挤压面的区别，剪切和挤压的计算分析，剪力互等定理的意义及剪切虎克定律的应用。
【重点、难点】
本讲的重点是剪切和挤压的受力分析和破坏形式及其实用计算，难点是剪切面和挤压面的区分，挤压面积的计算。

知识点一、实用(假定)计算法的概念
力学模型如图5—3—1所示。

受力特征  构件上受到一对大小相等、方向相反，作用线相距很近且与构件轴线垂直的力作用。

变形特征  构件沿两力的分界面有发生相对错动的趋势。

剪切面  构件将发生相对错动的面。

剪力v  剪切面上的内力。其作用线与剪切面平行。

螺栓、销钉、铆钉等工程上常用的连接件及其被连接的构件在连接处的受力与变形一般均较复杂，要精确分析其应力比较困难，同时也不实用，因此，工程上通常采用简化分析方法或称为实用(假定)计算法。具体是：
1．对连接件的受力与应力分布进行简化假定，从而计算出各相关部分的“名义应力”；
2．对同样连接件进行破坏实验，由破坏载荷采用同样的计算方法，确定材料的极限应力。
然后，综合根据上述两方面，建立相应的强度条件，作为连接件设计的依据。实践表明，只要简化假定合理，又有充分的试验依据，这种简化分析方法是实用可靠的。

知识点二、剪切与剪切强度条件
当作为连接件的铆钉、螺栓、销钉、键等承受一对大小相等、方向相反、作用线互相平行且相距很近的力作用时，当外力过大；其主要破坏形式之一是沿剪切面发生剪切破坏，如图2-1所示的铆钉连接中的铆钉。因此必须考虑其剪切强度问题。

连接件(铆钉)剪切面上剪应力r：假定剪切面上的剪应力均匀分布。于是，剪应力 与相应剪应力强度条件分别为
              （2-1）
      （2-2）
式中： 为剪切面上内力剪力；为剪切面的面积；[ ]为许用剪应力，其值等于连接件的剪切强度极限 除以安全系数。如上所述，剪切强度极限 值，也是按式(2-1)由剪切破坏载荷确定的。
需要注意，正确确定剪切面及相应的剪力。例如图2-1(a)中铆钉只有一个剪切面，而图2-1(b) 中铆钉则有两个剪切面。相应的剪力值均为p。

知识点三、挤压与挤压强度条件
在承载的同时，连接件与其所连接的构件在相互直接接触面上发生挤压，因而产生的应力称为挤压应力。当挤压应力过大时，将导致两者接触面的局部区域产生显著塑性变形，因而影响它们的正常配合工作，连接松动。为此必须考虑它们的挤压强度问题。如图2—2所示的铆钉连接中的铆钉与钢板间的挤压。

连接件与其所连接的构件，挤压面上挤压应力 。：假定挤压面上的挤压应力均匀分布。于是；挤压应力 ，与相应的挤压强度条件分别为

式中：pc为挤压面上总挤压力；ac为挤压面的面积。当挤压面为半圆柱形曲面时取垂直挤压力方向直径投影面积。如图2—2所示的取ac=dt。[ ]为许用挤压应力其值等于挤压极限应力除以安全系数。      在实用（假定）计算中的许用剪应力[ ]、许用挤压应力[ ]，与许用拉应力[ ]之间关系有：对于钢材
[ ]=（0.75～0.80）[ ]
[ ]=（1.70～2.00）[ ]

知识点四、纯剪切与剪应力互等定理
(一)    纯剪切：若单元体上只有剪应力而无正应力作用，称为纯剪切。如图2-3(a)所示，是单元体受力最基本、最简单的形式之一。
在剪应力作用下．相邻棱边所夹直角的改变量．称为剪应变，用 表示，其单位为rad。如图2-3(b)所示。

(二)剪应力互等定理：在互相垂直的两个平面上，垂直于两平面交线的剪应力，总是大小相等，而方向则均指向或离开该交线(图2-3)，即
证明：设单元体边长分别为 ，单元体顶、底面剪应力为 ，左、右侧面的剪应力为 (图2-4a)则由平衡方程        
得 
同理可证，当有正应力作用时(图2-3b)，剪应力互等定理仍然成立

知识点五、剪切胡克定律
试验表明，在弹性范围内，剪应力不超过材料的剪应力比例极限，剪应力 与剪应变 成正比，即  

式中g称为材料的剪变模量。上述关系称为剪切胡克定律。
  试验表明，对于各向同性材料，材料的三个弹性常数 ，有下列关系

上述关系式同样可从纯剪切时应力、应变关系中导得。所以，当知道任意两个弹性常数后，由上式可以确定第三个弹性常数。即e、g、v间只有两个独立常数。

【例题1】如图所示圆截面杆件，承受轴向拉力p作用，设拉杆的直径为d，端部墩头的直径为d，厚度为 ，已知许用应力[ ]=120mpa，许用剪应力[ ]=90mpa，许用挤压应力[ ]=240mpa。试根据强度方面要求，则d，d， 三者间的合理比值为（   ）。
  a．1：1：1    b.1:1.223:0.335    c.1.223:1:0.335    d:0.335:1:1.223
  答案:c

【例题2】如图所示光圆钢筋，一端置于混凝土中，另一端外伸端施加一拉力p。(称钢筋与混凝土之间抗拔力试验)。已知钢筋的直径d=14mm，埋置长度 =300mm, p=20kn，则钢筋与混凝土接触面间平均剪应力为。
  a.      b.       c.       d.  
  答案:d

【例题3】一外径为250mm，壁厚为lomm的钢管柱，底部垫置直径为d 的圆钢板，立于混凝土底座上(如图所示)。已知混凝土的许用挤压应力为15mpa，钢的许用挤压应力为150 mpa，管柱能够承受的最大荷载p及所需钢板的最小直径d分别为。 
a.1000   310         b.1130    310    
c.1200   310         d. 1200   300

答案:b

【例题4】矩形截面的钢板拉伸试件，如图所示。为了使拉力p通过试件的轴线，在试件两端部，开有圆孔，孔内插入销钉，作用于试件设试件与销钉的材料相同,其许用剪应力[ ]=1oompa，许用挤压应力[ ]c=300mpa，许用拉应力[ ]=170mpa，试件拉伸时的强度极限 =400mpa，为了使试件仅在中部被拉断，则该试件端部，所需尺寸 的大小为(    )。(试件中部横截面尺寸为 20mm． 5mm)．
a.16  40  70              b.27  40  70
c.27  40  74              c.16  40  80

  答案:c

【例题5】如图所示铆钉连接，已知铆钉的直径d=20mm，许用剪应力[ ]=130mpa，许用挤压应力 =300mpa，钢板的许用拉应力[ ]=170mpa，则该连接的许可荷载[p]为(    )。
  a.180       b. 238       c. 245       d. 306 

  答案:a

【例题6】如图所示对接式螺栓连接，主板厚 =10mm，盖板厚 =6mm，板宽均为 =250mm，已知螺栓直径d=20mm，许用剪应力[ ]=130mpa，设用挤压应力 300mpa，钢板的许用拉应力[ ]=170mpa，承受轴向拉力p=300kn，螺栓排列每列最多为二个，则该连接每边所需要的螺栓个数最少为(    )。
  a.3个        b. 4个       c. 5个       d. 6个

  答案:c

【例题7】如图所示一横截面边长为200mm的正方形混凝土柱，竖立在边长 =1m的正方形混凝土基础板上。柱顶上作用轴向压力p=100kn，设地基对混凝土板的支承压力为均匀分布，混凝土的许用抗剪应力[ ]=1.5mpa，则柱不会穿过混凝土板，板应有的最小厚度 为(    )。
  a.70       b. 75       c. 80       d. 85
  
  答案:c

【例题8】如图所所示摇臂，承受p1和p2作用。已知载荷p1=50kn，轴销d材料的许用剪应力[]=100mpa，许用挤压应力[ ]=240mpa，则轴销的最小直径d为(     )。
  a. 14       b. 15       c. 16       d. 17  

  答案:b

【例题9】一钢杆，直径为15mm，长度为5m，用直径为15mm的螺栓连接，固定在两墙之间。  (没有任何初应力)，如图所示，已知钢的 ，e=200gpa，若螺栓内产生的剪应力 =60mpa时的温差△t0℃为（    ）。
  a．30℃      b.40℃      c.50℃      d.60℃

  答案:c