行政能力测验

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模型求解

应用集合中的容斥原理，我们就可得到“装错信封问题”的数学模型的求解公式.

设I表示n个不同元素的全排列的集合

Ai(i=1，2，…，n)为元素i在原位的排列的集合.

Ai∩Aj(1≤i

……

……

A1∩A2∩…∩An为n个元素的序排的集合.

则它们的排列数(即各个集合中元素的个数)分别为

|I|=n!

|Ai|=(n-1)!

|Ai∩Aj|=(n-2)!

……

……

|A1∩A2∩…∩An|=(n-n)!=0!

所以，根据容斥原理即得“装错信封问题”的数学模型的求解公式(即n个不同元

素的错排数)为

应用举例

一个元素的错排数显然为0，二个不同元素的错排数为1，三个不同元素的错排数

为2，均可由公式验证，由公式还可求得四个不同元素的错排数为

五个不同元素的错排数为

则本文开头的问题1)共有9种不同的分配方式，故选(B).问题2)共有44种不同的

戴法，下面再举几例说明公式的应用.

例

设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现

将这五个球投放入五个盒内，要求每个盒内投放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒

子的编号相同，则这样的投放方法的总数为

A.20种B.30种

C.60种D.120种

解本题实质上是三个元素的错排问题，但由于题中未指明是哪三个元素进行的错

排，故本题可分两步求解.

第二步，对已选出的三个元素进行错排，有2种.

例

某省决定对所辖8个城市的党政一把手进行任职交流，要求把每个干部都调

到另一个城市去担任相应的职务.问共有多少种不同的干部调配方案?

解实质上本题即为8个不同元素的错排问题，一种干部调配方法对应于8个不同

元素的一个错排.故由公式可求得不同的干部调配方案数为

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