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问题的提出
1)同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年
卡.则四张贺年卡的不同分配方式有[]
A.6种B.9种C.11种D.23种
2)有5个客人参加宴会,他们把帽子放在衣帽寄放室内,宴会结束后每人戴了一顶
帽子回家.回家后,他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子.问5个客人都不戴自己帽
子的戴法有多少种?
上述两个问题,实质上是完全一样的.是被著名数学家欧拉(LeonhardEuler,1707
-1783)称为“组合数论的一个妙题”的“装错信封问题”的两个特例.“装错信封问
题”是由当时最有名的数学家约翰·伯努利(JohannBernoulli,1667-1748)的儿子丹尼
尔·伯努利(DanidBernoulli,1700-1782)提出来的,大意如下:
一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封,他把这n封信都装错了信封,
问都装错信封的装法有多少种?
建立数学模型
“装错信封问题”及两个特例,其实就是n个不同元素的一类特殊排列问题,本文
试就给出这类问题的数学模型及求解公式.为方便,我们先把n个不同的元素及相应的
位置都编上序号1,2,…,n,并且约定:在n个不同元素的排列中
1°若编号为i(i=1,2,…,n)的元素排在第i个位置,则称元素i在原位;否则称
元素i不在原位.
2°若所有的元素都不在原位,则称这种排列为n个不同元素的一个错排(若每个
元素都在原位则称为序排).
按照上面约定,“装错信封问题”即为n个不同元素的错排问题,则可构建“装错
信封问题”的数学模型为
在n个不同元素的全排列中,有多少种不同的错排?
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