第一节 空间解析几何 部分

一、主要内容

（一）向量代数

（二）空间解析几何

1、向量的概念：定义:既有大小又有方向的量称为向量.

自由向量、相等向量、负向量、重要概念:零向量、向量的模、单位向量、平行向量、向径.

2、向量的线性运算

(1)  加法：

(2)  减法：

(3)  向量与数的乘法：

3、向量的表示法

向量的分解式：

在三个坐标轴上的分向量：

向量的坐标表示式：

向量的坐标：

向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式

向量模长的坐标表示式

向量方向余弦的坐标表示式

4、数量积(点积、内积)

数量积的坐标表达式

两向量夹角余弦的坐标表示式

5、向量积(叉积、外积)

向量积的坐标表达式

6、混合积

（二）空间解析几何

空间直角坐标系

 

 

空

间

直

角

坐

标

系

 

共有一个原点,三个坐标轴,三个坐标面,八个卦限.

两点间距离公式:

它们距离为

2、曲面

曲面方程的定义：

研究空间曲面的两个基本问题：

（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状.

（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程.

[1] 旋转曲面

定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称之.

这条定直线叫旋转曲面的轴.

方程特点:

                            

 

（1）球面                  （2）圆锥面                     （3）旋转双曲面

                           

 [2] 柱面

定义：平行于定直线并沿定曲线c移动的直线l所形成的曲面称之.

这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.

从柱面方程看柱面的特征：

                         

 

(1)  平面              (2)  圆柱面          (3)  抛物柱面            (4)  椭圆柱面

                               

 [3] 二次曲面

定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.

           

（1）椭球面                     （2）椭圆抛物面

         

                          

（3）马鞍面             （4）单叶双曲面                （5）圆锥面

                

3、空间曲线

[1] 空间曲线的一般方程

[2]  空间曲线的参数方程

如图空间曲线

一般方程为

参数方程为

 [3]  空间曲线在坐标面上的投影

设空间曲线的一般方程：

消去变量z后得：

曲线在xoy面上的投影曲线为

yoz面上的投影曲线

xoz面上的投影曲线

如图:投影曲线的研究过程.

空间曲线             投影曲线            投影柱面

 [4]  空间立体或曲面在坐标面上的投影

空间立体

曲面