（二）极限存在准则和两个重要极限
2 ．单调有界准则和极限
准则ii 单调有界的数列（或函数）必有极限。
利用准则ii，可得另一个重要极限
其中 e 是一个无理数， e =2 . 71828 … …
（三）无穷小的比较
设 a 及都是在同一个自变量变化过程中的无穷小,且0， lim 也是在这个变化过程中的极限。
若 lim =0，就称是比a高阶的无穷小，记作=（a）；并称a是比低阶的无
穷小；
若 lim =c 0，就称是与 a 同阶的无穷小；
若 lim =1, 就称是与 a 等阶的无穷小，记作a 。
关于等价无穷小，有以下性质：
若,且 lim 存在，则
当 x 0时，有以下常用的等价无穷小：
（四）例题
一般地，对有理分式函数
其中p（ x ）、 q （ x ）是多项式， 若（x）=q（x0） 0,则
注意：若 q （ x 0） = 0 ，则关于商的极限运算法则不能应用，需特殊考虑。
【例1-2-2】 求
【 解 】 （x2- 9 ） = 0 ，不能应用商的极限运算法则。但分子、分母有公因子x-3,故
【例1-2-3】 。
【 解 】 （ x2-5x+4）=0, （2x-3）= -1,故
从而
【例 l -2 -4】 求。
【 解 】 当 x 时，分子、分母都为无穷大，不能应用商的极限运算法则，但可先用 x3 去除分子、分母，故
【例1-2-5】 等于
（ a ） 1
（ b ） 0
（ c ）不存在且不是
（ d ）
【解】 由于=0，，按照“有界函数与无穷小的乘积是无穷小”，故应选（b）, 注意不要与极限=1相混淆。
【例1-2-6】 求。
【 解 】 令 x＝- t ,则当 x 时，t 。于是
【例1-2-7】 求。
【例1-2-8】 求。
【解】当 x 0 时，tan2x 2x, sin5x 5x，所以
【例1-2-9】 求。
【解】 当 x 0时，,cosx-1-,所以