二 连续
（一）函数的连续性与间断点
1 ．函数的连续性
设 f （ x ）在 x 0的某邻域内有定义。
若
（ x ）= f （x0） ，则称 f （x）在 x0 连续;
若 
,则称 f （ x ）在 x 0左连续；
若
，则称 f （ x ）在 x0 右连续。
若函数f（ x ） 在区间i上每一点都连续，则称 f （ x ）在该区间上连续。特别，当i = [ a , b ］时, f （ x ）在 [ a ，b]上连续，是指 f （ x ）在（a， b ）内每一点处连续，且在 a 处右连续,在 b 处左连续。
2 ．函数的间断点
由函数在一点连续的定义可知,函数 f （ x ）在一点 x 0处连续的条件是:
（ 1 ） f （ xo ）有定义；
（ 2 ） （ x ）存在；
（ 3 ） （ x ）= f （x0）。
若上述条件中任何一条不满足, 则f （ x ）在 x 0处就不连续，不连续的点就称函数的间断点。间断点分成以下两类：
第一类间断点： x0是f （ x ）的间断点，但f （x0-）及f （x0+）均存在；
第二类间断点：不是第一类的间断点。
在第一类间断点中，若
` 
均存在但不相等,则称这种间断点为跳跃间断点；若 f （ x0-） , f （ xo +
）均存在而且相等，则称这种间断点为可去间断点。
（二）初等函数的连续性
1 ．基本初等函数和初等函数
幂函数、指数函数、时数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。
由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。
2 ．初等函数的连续性
一切初等函数在其定义区间内都是连续的，这里的“定义区间”是指包含在定义域内的区间。
（三）闭区间上连续函数的性质
设函数 f （ x ）在闭区间 [a ，b]上连续，则
（ l ） f （ x ）在［ a ，b］上有界（有界性定理） ;
（ 2 ） f （ x ）在[ a ，b]上必有最大值和最小值（最大值最小值定理） ;
（ 3 ）当 f （ a ） f （b） < 0 时，在（ a ，b）内至少有一点ξ，使得 f （ξ） = 0 （零点定理；
（ 4 ）对介于 f （ a ） = a 及 f （ b ） = b 之间的任一数值c ，在（ a , b ）内至少有一点ξ，使得 f （ξ）=c （介值定理）。