6 ．由参数方程所确定的函数的求导法则

若函数y = y （ x ）由参数方程

所确定，且 x ＝φ（ t ）、 y ＝ψ（ t ）二阶可导，φ^’（ t ）≠0，则

 

 

【例 1-2-23】  求（ sinx )⁽ⁿ⁾、( cosx )⁽ⁿ⁾。

【解】  y =sinx

一般地，可得（ sinx ) ⁽ⁿ⁾ = sin

用类似方法，可得

 

四、微分及其应用

（一）微分概念 

函数 y = f（x）劝在点 x 的微分称为函数 y = f ( x ）的微分，记作 dy 或 df ( x)。

2 ．函数可微分的充分必要条件

函数y = f（x）在点 x₀ 可微分的充分必要条件是 f ( x ）在点 x₀ 可导，且当 f ( x ) 在点 x_o可导时，其微分一定是

函数的微分是

通常把称为自变量的微分，记作 dx ，即

于是函数的微分可写成

而导数可写成

即导数等于函数的微分 dy 与自变量的微分 dx 之商。

 

（二）基本微分公式与微分法则

1 ．基本微分公式

 

 

2 ．函数和、差、积、商的微分法则

设函数 u = u ( x ）、v＝ v ( x ）均可微，则

 

（三）微分的应用

 

（四）例题

【 例 1-2 -29 】

［解］

五、中值定理与导数的应用

（一）中值定理

1 ．若函数 f ( x ）在闭区间[ a ，b]上连续，在开区间（ a , b ）内可导，且 f ( a ) = f ( b ) ，则至少有一点ξ∈（ a， b ) ，使得 f ' (ξ）＝ 0。

2 ．拉格朗日中值定理

若函数 f ( x ）在闭区间［ a ，b］上连续，在开区间（ a , b ）内可导，则至少有一 点ξ∈（ a， b )，使得下式成立

 

（二）求未定式的值的方法 ― 罗必塔法则

1 ．未定式0/0与   的情形

关于要0/0的情形：

设（ 1 )当 x  → a （或 x→∞）时， f （x）→0 且 f ( x ) → 0 ,

( 2 ) 在点 a 的某去心邻域内（或当｜x｜> n 时） , f ' ( x ）及 f ' ( x ）都存在且f ' （x）0 ,

则                        

若 仍属0/0型 ，且 f ' ( x ）、 f ' （x）满足上述三个条件，则可继续运用罗必塔法则，即

 

（三）函数性态的判别

1 ．函数单调性的判定

利用一阶导数的符号判定，如表 1-2-1 所示。

2 ．函数极值的判定

利用一阶导数判定，如表 1-2-2 所示。

利用二阶导数判定，如表1-2-3 所示。

3 ．曲线凹、凸及其拐点的判定

利用二阶导数的符号判定曲线的凹、凸，如表 1-2- 4 所示。

连续曲线 y = f ( x ）上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点。如果 f " （x₀）=0,而 f " ( x ）在x₀的左右两侧邻近异号，则点（x₀， f ( x_o ) ）就是一个拐点。

4 ．曲线的渐近线

若 =y₀，则曲线 y = f ( x ）有水平渐近线 y = y₀ ;

若 =,则曲线 y ＝f ( x ) 有铅直渐近线 x = x ₀；

 

（四）最大值最小值问题

设 f ( x ）在闭区间 [ a , b] 上连续、除个别点外处处可导且至多在有限个点处导数为零，求 f （x）在 [ a ，b]上的最大值与最小值的一般方法：

设 f ( x ）在（ a , b ）内的驻点及不可导点为 x₁，… , x_n，则比较

的大小，其中最大的便是最大值，最小的便是最小值。

六、偏导数全微分

（一）偏导数与全微分

 1 ．偏导数概念

函数z = f（ x,y ）对 x、y ,的偏导数依次记作（或 f_x（ x ,y ））  ，  （或 f_y , （ x, y ） ） ，它们的定义如下：

类似地，可以定义三元函数 f （ x , y , z ）的偏导数f_x（x， y , z ）、f_y（ x , y ，z）、f_z（ x , y ，z）等.

按定义，偏导数的求法仍属一元函数微分法的问题。

2 ．多元复合函数的求导法则

设u = （ x ，y）、 v ＝（ x ，y）均具有偏导数，而z＝f（u ， v ）具有连续偏导数，则复合函数 z ＝f [ （ x ，y），（ x ，y）］的偏导数存在，且

上面这一求导法则，简称为 2 ×2 法则或标准法则。从这标准法则的公式结构，可得它的特征如下：

①                       由于函数 z = f [ （ x ，y），（ x ，y）］有两个自变量，所以法则中包含及的两个偏导数公式。

 ② 由于函数的复合结构中有两个中间变量，所以每一偏导数公式都是两项之和，这两项分别含有及。

③ 每一项的构成与一元复合函数的求导法则相类似，即“因变量对

间变量的导数再乘以中间变量对自变量的导数”。

由此可见，掌握多元复合函数的求导法则的关键是弄清函数的复合结构，哪些是中间变量，哪些是自变量。为直观地显示变量之间的复合结构，可用结构图（或称树形图） 1-2 -1 来表示出因变量 z 经过中间变量u 、 v 再通向自变量 x 、 y 的各条途径。

按照上述标准法则的三个特征，我们可以将多元复合函数的求导法则推广。

如，特别当有一个自变量，u ＝（x ） , v ＝（ x ） , z = f （ u , v ）时，由于函数 z = f ［（x ）， ） ，（ x ）］只有一个自变量，偏导数变成导数（这时称为全导数）；函数复合结构中有两个中间变量，所以全导数公式中是两项之和；每项构成与一元复合函数求导法则类似。于是，有全导数公式

又如， u ＝（x ，y）， v ＝（y）， z = f （ u , v ） ，复合函数 z =f ［（x ，y）, （ y） ］的结构图如图 1-2 - 2 所示。类似地依以上分析，则有

             

3 ．隐函数求导法则

设方程 f （ x , y , z ） = 0 确定一个隐函数 z = f （ x ，y），函数 f （ x , y , z ）具有连续偏导数且f_z ≠0 ，则有

 

4 ．高阶偏导数

二阶及二阶以上的偏导数统称高阶偏导数，如 z = f （x  ,y）的二阶偏导数按求导次序不同有下列四个：

 

5 ．全微分概念

若函数 z = f （ x ，y）的全增量

其中 a 、 b 仅与x， y 有关，而，则称函数z＝ f （ x ，y）在点 （ x ，y）可微分，并称为函数 z = f（x, y）的全微分，记作 dz ，即

函数可微分的充分条件是函数具有连续偏导数。

习惯上，记,故

（二）多元函数连续、可（偏）导、可微分的关系

对于一元函数来说，函数可导必定连续，而可导与可微分两者是等价的。但对于多元函数来说，可（偏）导（即存在偏导数）与连续没有必然的联系，可（偏）导与可微分也并不等价。多元函数可微分必定可（偏）导，但反之不真。当偏导数存在且连续时，函数必定可微分。

上述多元函数连续、可（偏）导与可微分的关系，可用图 1-2-3 表示如下：

 

（三）偏导数的应用

1 ．空间曲线的切线与法平面

空间曲线：

在对应参数 t = t₀ 的点（ x₀ , y₀，z₀）处的切线方程为

法平面方程为

2 ．曲面的切平面与法线

曲面∑： f （x，y , z ） = 0 在其上一点 m （ x₀ , y₀ , z₀ ）处的切平面方程为

法线方程是

 

4 ．多元函数的极值

设 z = f （ x ，y）在点（ x₀ , y₀ ）具有偏导数，则它在点（ x₀, y₀ ）取得极值的必要条件是

设 z = f （ x ，y）在点（ x₀ , y₀ ）的某邻域内具有二阶连续偏导数，且

则有

（1）当 ac-b² > 0 时，具有极值f（x₀,y₀），且当 a < 0 时，f（x₀,y₀）为极大值，当 a > 0 时， f（x₀,y₀）为极小值；

（2）当 ac-b ²< 0 时，f（x₀,y₀）不是极值。

（四）例题