二、反常积分

 （一）两类反常积分的定义

1 ．无穷限的反常积分

若极限

存在，则称此极限为 f ( x ）在「 a ，＋ 〕 上的反常积分，记作f(x)dx, 即

这时，称反常积分f（x） dx 收敛；若上述极限不存在，则称反常积分f（x） dx 不存在或发散。

类似地定义反常积分

当且仅当反常积分

都收敛时，定义反常积分

2 ．无界函数的反常积分

若 f ( x ）在（ a ，b）上连续，而在点 a 的右邻域内无界，极限

存在，则称此极限为f（ x ）在（ a ，b）上的反常积分，记作f（x） dx ，即

这时，称反常积分f（x）dx 收敛 ·

若 f ( x ）在 【 a , b ）上连续，而在点 b 的左邻域内无界，类似地定义反常积分

 

（二）例题

1. 计算

于是

2.

【 解 】 因为

所以所求积分属无界函数的反常积分。按定义

 

 

三、重积分

（一）重积分的概念与性质

 1 ．二重积分的概念与性质

设f（ x ，y）在平面有界闭区域 d 上有界，将闭区域 d 任意划分成n个小闭区域：

任取点（_i，，） ( i = l , 2 ， … ，n）。记小区域的直径为 d _i，＝ max { d ₁ , d₂ ，…， d _n ｝。

若极限

总存在，则称此极限为函数 f （x，y ）在有界闭区域 d 上的二重积分，记成f( x, y)d,即

当 f ( x , y )  0 , ( x , y ）  d 时，二重积分f( x, y)d在几何上表示以曲面

z=f ( x ,y）为顶、闭区域 d 为底的曲顶柱体的体积。

二重积分具有如下性质：

其中且无内点

其中σ为 d 的面积

( 5 ）若在 d 上， f (x，y) ≤ g(x, y)，则

( 7 ）设 m 、m，分别是 f （x，y）在 d 上的最大、最小值， σ是 d 的面积，则

( 8 ）设 f （x，y）在闭区域 d 上连续，σ是 d 的面积，则存在点（ξ , η）∈d，使得

2 ．三重积分的概念与性质

设 f ( x , y ，z）在空间有界闭区域ω上有界，与二重积分的定义类似地有f（x， y , z ）在ω上的三重积分的定义，即

若 f （x， y , z ）表示某物体在点f ( x , y , z ）处的密度，ω表示该物体占有的空间闭区域，则三重积分就表示该物体的质量 m .

三重积分具有与二重积分类似的性质。

（二）重积分的计算法

1 ．二重积分的计算法

( 1 ）利用直角坐标

在直角坐标下，二重积分也表成

若积分区域 d （图 1-3-1 ）可表成

则二重积分可化成先对y后对x的二次积分，即

或记成

若积分区域 d （图 1-3-2 ）可表成

则二重积分可化成先对x、后对 y 的二次积分，即

我们称图 1-3-1 所示的区域为 x-型区域，图1-3-2 所示的区域为 y-型区域。如果积分区域既是 x-型的，也是 y-型的，则二重积分可表成两个不同次序的二次积分，于是有

( 2 ）利用极坐标

直角坐标和极坐标的关系是

积分的变换公式是

若积分区域 d （图1-3-3 ）可表成

则二重积分可化成先对ρ、后对θ的二次积分，即