2 ．三重积分的计算法

( 1 ）利用直角坐标

 

（三）例题

1．计算，其中d是由抛物线，y² = x及直线y = x - 2 所围成的闭区域。

【 解 】 两曲线的交点是（ 1，- 1 ）、（ 4 , 2 ）。积分区域 d （图 1-3-4 ）可表成

从而

 

2．计算,其中 d 是 x 轴、 y 轴和抛物线 y =1 – x²所围成的在第一象限内的闭区域。

【 解 】抛物线y =1 – x²与 x 轴、 y 轴的交点依次为（1，0）及（0，1），积分区域 d （图 1-3-5 ）可表成

从而

 

 

 

4．交换积分次序，二次积分

化为

［解」由所给的二次积分，可得积分区域

更换积分次序，得

故选（ b ）。

 

 

四、平面曲线积分格林公式

（一）平面曲线积分的概念与性质

1 ．对弧长的曲线积分的概念与性质

设 l 为平面内一条光滑曲线弧， f （x，y）在 l 上有界，将 l 任意划分成n个小段，第 i 个小段的长度为，（ , ）为第 i 小段上任一点，＝ max , 若极限

总存在，则称此极限为f（x，y）在 l 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作 ,即

若曲线形构件 l 在点（ x , y ）处的线密度为（x， y ) ，则曲线积分( x , y ) ds 就表示此构件的质量 m ，即

当 l 为闭曲线时，曲线积分记为f ( x ,y )ds.

第一类曲线积分具有如下性质：

2 对坐标的曲线积分的概念与性质

设l为平面内从点 a 到点 b 的一条有向光滑曲线弧，p（ x ，y）、 q ( x ，y)在 l 上有界，将l任意分成 n 个有向小弧段( i =1,2,…,n; m₀= a, m_n=b ), = x_i – x_{i-1 ,}

= y_{i –} y_{i-1 .}任取（ , ），记 =max,若极限

总存在，则称此极限为p（x，y）在有向曲线弧 l 上对坐标 x 的曲线积分，记作p(x,y) ds,即

类似地定义 q （x， y ）在有向曲线弧l上对y的曲线积分 。q( x ,y )dy ,即

对坐标的曲线积分也称为第二类曲线积分。p (x ,y )dx +q( x, y)dy通常写成p(x ,y )dx +q(x ,y)dy。

若某质点沿有向曲线弧 l 移动，受变力 f = (p (x ,y),q (x ,y))作用，则变力作的功为

对坐标的曲线积分具有如下性质：

其中 l^-表示与 l 反向的有向曲线弧。

其中a 、为常数。

格林公式

定理  设闭区域 d 由分段光滑的曲线 l 围成，函数p（ x ，y）及 q （ x ，y)在 d 上具有一阶连续偏导数，则有

其中 l 是 d 的取正向的边界曲线。

上述公式称格林公式。这一公式揭示了闭区域 d 上的二重积分与沿闭区域 d 的正向边界曲线 l 上的曲线积分之间的联系，利用这一联系使得两种积分的计算可以相互转化。           

（四）例题

【 例 1- 3 - 22 】 计算半径为 r 、中心角为 2a 的圆弧l 对于它的对称轴的转动惯量 i （线密度μ＝ 1 ）。

【解】 取圆弧的圆心为原点，对称轴为 x 轴，并使圆弧位于y轴的右侧（图 1 一 36 ) ，则

                     

l 的参数方程为

于是

 

【 例 1- 3 - 23 】计算y²dx，其中l是半径为 a 、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周（图 1 -3-7 ）。

【 解】  l 是参数方程为

当参数从 0 变到的曲线弧。因此．

               

 

五、积分的应用

（一）定积分的应用

 1 ．几何应用

（ 1 ）平面图形的面积

1 ）直角坐标情形

设平面图形由曲线 y = f （ x ）、y = g （ x ) （f（ x ) ≥g （ x ) ）和直线 x = a 、 x = b

所围成（图 1-3 - 8 ) ，则其面积

 

2 ）极坐标情形

设平面图形由曲线 ＝（  )及射线＝a、＝所围成（图 1-3-9 ) ，则其面积

（ 2 ）体积

l ）旋转体的体积

设旋转体由曲线 y = f （ x ）与直线 x = a 、 x = b 及 x 轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周而成（图 1-3 -10 ) ，则其体积

 

（ 3 ）平面曲线的弧长

 l ）直角坐标情形

设曲线的方程为 y = f （ x ) （ a  x  b ) , f （ x ）在 [ a ，b]上具有一阶连续导数，则其弧长

2 ）参数方程情形

设曲线的参数方程为 x ＝（ t ) , y ＝（ t ) （at ）, （ t ）、（ t ）在[ a,  ]上具有连续导数，则其弧长

3 ）极坐标情形

设曲线的极坐标方程为＝（） （ a ），（  ）在［ a ，］上具有连续导数，则其弧长 s =

 

（ 2 ）水压力

设有平面薄板，铅直放置水中，取薄板所在平面与水平面的交线为 y 轴，x 轴铅直向下（图 1-3 -12 ) ，设薄板的形状为

则薄板一侧所受的水压力为

其中  为水的密度， g 为重力加速度。

 

（二）二重积分的应用

 1 ．曲面的面积

设曲面的方程为 z = f （ x ，y)，在 x o_y面上的投影区域为 d , f （x，y）在 d 上具有一阶连续偏导数，则曲面的面积

2 ．平面薄片的质量、重心及转动惯量

设平面薄片占有 x oy面上的区域 d ，薄片在 d 上任一点 p （ x , y ）处的面密度为μ（ x , y ) ，则薄片的质量为

薄片重心的坐标为

薄片关于 x 轴、 y 轴的转动惯量为

 

（三）例题

【 例 1 -3 -25 】   计算由两条抛物线：y² = x 、 y ＝x²所围成的图形的面积。

【解 】  两条抛物线所围成的图形如图 1-3-13 所示， x 的变化区间为 [ 0 , 1] ，所求面积为

 

【例 1- 3 -26 】  计算心形线＝ a （ 1 + cos ） （ a> 0) 所围成的图形的面积。

【 解 】 心形线所围成的图形如图 1-3 -14 所示，的变化区间为 [-,]。所求面积为

 

 

 

【例1 - 3 -29】   计算摆线 x = a（- sin ) ，y＝ a （ 1 －cos）的一拱（ 0 2）（图 l -3-15 ）的长度。

【 解 】   的变化区间为 [0 , 2], x '（） = a （ 1 － cos ) ，y’（） = asin ，所求弧长为

【 例 1-3 – 30】  求半径为 a 的均匀半圆薄片（面密度为常量μ）对于其直径边的转动惯量。

【 解 】 取坐标系如图1-3-16 所示，薄片所占闭区域

所求转动惯量即半圆薄片对于 x 轴的转动惯量

其中m =为半圆薄片的质量。