第四节   无穷级数

 

一、数项级数

（一）常数项级数的概念和性质

1 ．常数项级数的概念

数列 u _n（ n = 1 , 2 , …）的各项依次相加的表达式称为无穷级数，第n项u_n称为级数的一般项或通项，前n项之和 s_n =称为级数的部分和。若 = s存在．则称级数收敛，并称级数的和为s ; 若不存在，则称级数发散 。 当级数收敛时， r_n =称为级数的余项，有= 0 。

2 ．常数项级数的性质

（ 1 ）若 = s,则= k=ks （ k为常数)；

（ 2 ）若=s，则v_n =t, 则 （u_nv_n) =v_n =s  t;

（ 3 ）收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原来的和；

（ 4 ）在级数中改变有限项，不影响其收敛性；

（ 5 ）若级数收敛，则＝ 0；反之，不一定成立。

 

3 ．典型级数

（ l ）几何级数aq^n-1，当q  < 1 时，收敛于，当q  1 时，级数发散；

（ 2 ） p-级数（p  > 0 ) ，当p > 1 时，级数收敛，当0＜p 1 时，级数发散.

（二）常数项级数的审敛法

 1 ．正项级数审敛法

若级数，其中u_n0 （ n=1 , 2 ， … ），则称级数为正项级数。

（ l ）收敛准则：正项级羚收敛的充分必要条件是其部分和有界。

（ 2 ）比较审敛法：设、v_n为正项级数，对某个 n > 0 ，当n＞ n 时， 0u_ncv_n（ c > 0 为常数）。若v_n收敛，则收敛；若发散，则v_n发散。

比较审敛法的极限形式：若＝l（v_n0 ) ，则当0＜ l ＜十 时，和v_n同时收敛或同时发散。

（ 3 ）比值审敛法：设为正项级数，若  = l ，则当l < l 时，级数收敛；当 l > 1 或 l = +时，级数发散；当 l = 1 时，级数可能收敛也可能发散。

（ 4) 根值审敛法：设为正项级数，若= l,则当l < l 时，级数收敛;当 l > 1 或 l = +  时，级数发散；当 l = 1 时，级数可能收敛也可能发散。

2 ．任意项级数审敛法

若级数，其中u_n（n = 1 , 2 ， … ）为任意实数，则称级数为任意项级数。若级数的各项正负交替出现，即可写作（-1）ⁿu_n（u_n > 0 ）或（- l ） ^{n+ l} u_n（u_n＞ 0 ） ，则称级数为交错级数。

若级数为任意项级数，而级数u_n收敛，则称级数绝对收敛；若收敛，而u_n发散，则称级数条件收敛。

（ l ）莱布尼兹判别法：若交错级数（- l ） ⁿ u _n（ u _n＞ 0 ）满足： 1 ）u _n u _n+1（n＝ 1 , 2 … ） ; 2 ）  u _n = 0 ，则级数（- 1 ）ⁿu_n收敛，且有余项r_n u _n+1（n＝ 1 , 2, …）

（ 2 ）若任意项级数绝对收敛，则该级数收敛。

（ 3 ）设为任意项级数，若 = l （或＝ l ） ，则当l < 1 时，级数绝对收敛；当 l > 1 或 l = + 时，级数发散；当 l = 1 时，级数可能收敛也可能发散。

（三）例题

【 例 1-4- l 】  判别级数sin  的收敛性。

【解】  级数  sin 为正项级数，因为

而级数发散（p-级数，p=1的情形，，根据比较审敛法的极限形式知此级数发散 .

 

【 例 1 -4 - 2 】 判别级数

的收敛性。

【 解 】 所给级数为正项级数，因为

根据比值审敛法知所给级数发散。