【 例 1- 4-3 】  判别级数的收敛性。

【 解 】   所给级数为正项级数，因为

根据根值审敛法知所给级数收敛。

     【 例 1-4 – 4】   数项级数的部分和数列有界是该级数收敛的

（ a ）充分条件。            

（ b ）必要条件。

（ c ）充分必要条件。       

（ d ）既非充分又非必要条件。

【解 】 按数项级数收敛的定义，级数收敛即级数的部分和数列有极限，而部分和数列有界是部分和数列有极限的必要条件，故选（ b ）。

注意对正项级数来说，部分和数列有界是级数收敛的充分必要条件，而对一般的非正项级数来说，部分和数列有界仅是级数收敛的必要条件，而不是充分条件。

【 例1-4 -5】级数

的收敛性是

（ a ）发散     

（ b ）条件收敛     

（ c ）绝对收敛     

（ d ）无法判定

【 解 】 按莱布尼兹判别法知，级数收敛；级数是 p -级数的情形，p < 1 ，故级数发散，因此应选（ b ）。

【 例1-4 -6】判别级数

的收敛性。

【 解 】 所给级数是任意项级数，因为

而级数是收敛的（p-级数，p = 4 ）。根据比较审敛法知，级数收敛，即级数绝对收敛，从而级数收敛。

 

【 例 1 - 4 -7 】判别级数的收敛性。

【 解 】 所给级数为任意项级数，因为

根据任意项级数审敛法（ 3 ）知，所给级数发散。

 

［例 1 -4 - 8 ］下列各选项正确的是

二、幂级数泰勒级数

（一）幂级数的概念和性质

1 ．幂级数的概念

称为幂级数，令，可化为

2 ．幂级数的收敛性

若级数当时收敛，则对适合的一切x，级数绝对收敛；若级数当时发散，则对适合的一切 x ，级数发散。

3 ．幂级数的收敛半径及其求法

若幂级数在某些点收敛，在某些点发散，则必存在唯一的正数 r ，使当时，级数绝对收敛，当时，级数发散。这个 r 称为幂级数的收敛半径；若幂级数只在 x = 0 处收敛，则规定收敛半径 r = 0 ；若幂级数对一切 x 都收敛，则规定收敛半径

对幂级数若

则它的收敛半径

4 ．幂级数的性质

若幂级数的收敛半径为 r ，则称开区间（- r , r ）为幂级数的收敛区间，"

根据幂级数在 x ＝± r 处的收敛情况，可以决定幂级数的收敛域（即收敛点的全体）是四个区间：（- r , r ）、［- r , r ）、（- r , r ］、[- r , r ］之一。

幂级数具有以下性质：

（ l ）幂级数的和函数在其收敛域上连续；

（ 2 ）幂级数的和函数在其收敛区间内可导，且有逐项求导、逐项积分公式

逐项求导、逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。

（二）泰勒级数

1 ．泰勒级数的概念

若 f （ x ）在点 x₀处具有各阶导数，则幂级数称为函数f （ x ）在点 x₀处的泰勒级数，特别当x₀ = 0 时，级数称为函数 f （ a ）的麦克劳林级数。

2 ．函数展开成泰勒级数的条件

设函数 f （x）在点 x₀的某邻域 u （ x₀）内具有各阶导数，则 f （ x）在该邻域内能展开成泰勒级数（即 f （ x ）的泰勒级数收敛于 f （ x ）本身）的充分必要条件是 f （ x ） 的泰勒公式中的余项

（其中）

3 ．常用函数的幂级数展开式

【例 l - 4 - 9 】 幂级数的收敛域是

（ a ） （- 1 ,l ）    

（ b ） （- l , 1 ）     

（ c ） （- l , l ）     

（ d ） （- l , 1 ）

【 解 】 易知级数收敛半径 r = l ，当 x ＝- 1 时，级数，当x = 1时，级数收敛，故应选（ d ）。

 

（ a ）条件收敛  

（ b ）绝对收敛

（ c ）发散

（ d ）收敛性不能确定

【 解 】 由的结构知其收敛区间的中心为x = 1，已知 x = -1为此级数的一个收敛点，设其收敛半径为 r ，则，而 x = 2 与收敛区间中心x＝ 1的距离为 1 , 1 < r ，由幂级数的收敛性（阿贝尔定理）知，此级数在 x = 2 处绝对收敛，故应选（ b ）。

【 例 1 - 4 - 11 】利用逐项求导法求级数

的和函数。

【 解 】幂级数的和函数是即

利用逐项求导公式，得

 

【 例 l - 4 – 12】将函数展开成（x一 3 ）的幂级数。

【 解 】 因为

而

因此

 

【 例 1 · 4 · 13】 将函数

展开成 x 的幂级数。

［解］先将有理分式分解成部分分式之和：