三、傅立叶级数

（一）傅立叶级数概念

1 ．傅立叶系数和傅立叶级数

设 f （ x ）是周期为 2π 的周期函数，则下面公式中出现的积分

都存在，则系数 a₀，a₁, ,b_l… 叫做函数 f （ x ）的傅立叶系数，级数

叫做函数 f （ x ）的傅立叶级数。

2 ．狄利克雷收敛定理

设 f （ x ）是周期为 2 π的周期函数，如果它满足条件：

（ 1 ）在一个周期内连续，或只有有限个第一类间断点；

（ 2 ）在一个周期内至多只有有限个极值点，则 f （ x ）的傅立叶级数收敛，且当 x 是f （ x ）的连续点时，级数收敛于f（ x ） ；当 x 是f（ x ）的间断点时，级数收敛于

（二）正弦级数和余弦级数

1 ．正弦级数

若 f （ x ）是周期为 2 π的奇函数，则它的傅立叶系数为

它的傅立叶级数是只含有正弦项的正弦级数

2 ．余弦级数

若 f （ x ）是周期为 2 π的偶函数，则它的傅立叶系数为

它的傅立叶级数是只含有常数项和余弦项的余弦级数

（三）周期为 2l 的周期函数的傅立叶级数

设 f （ x ）是周期为2l的周期函数，则它的傅立叶系数为

而它的傅立叶级数为

（四）例题

【 例 1 - 4 – 14 】 设f（ x ）是周期为 2 π的周期函数，它在  [-π，π），上的表达式为

问 f （ x ）的傅立叶级数在 x ＝-π处收敛于何值。

【 解】所给函数满足狄利克雷收敛定理的条件，x ＝-π是函数的间断点，按收敛定理它的傅立叶级数在 x ＝-π处收敛于

 

【 例1- 4 – 15】 将函数

展开成傅立叶级数。

【 解 】 将函数在外作周期延拓，注意到 f （ x ）是偶函数，故

由于 f 在区间[-π，π]满足收敛定理的条件，在 [-π，π]上连续，且 f （π）= f -（π），因此在区间[-π，π]上，有