第五节   微分方程

 

一、基本概念

（一）微分方程

表示未知函数及其导数、自变量之间的关系的方程，称为微分方程。微分方程中所出现的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。

 

（二）微分方程的解、通解

微分方程的解是一个函数，把这函数代人微分方程能使该方程成为恒等式。确切地说，对于n阶微分方程

那么函数就称为微分方程（ 1 - 5 - l ）在区间 i 上的解。

如果二元代数方程所确定的隐函数是某微分方程的解，那么称为该微分方程的隐式解。

含有n个独立的任意常数的微分方程的解，称为n阶微分方程的通解。

 

（三）初始条件与特解

能用来确定通解中的任意常数的条件称为初始条件。通常一阶微分方程的初始条件为；二阶微分方程卯初始条件为，。

通解中的任意常数全都确定后，就得到一个确定的解，称为微分方程的特解。

（四）例题

【 例1- 5 - l 】验证函数是微分方程的通解。

【 证 】

代人方程有

所给方程是二阶的，所给函数中恰好含 c_l 、 c₂ 两个任意常数，且因常数，故这两个任意常数不能合并成一个，即它们是相互独立的，因此所给函数是所给方程的通解。

二、可分离变量的方程

一阶微分方程

称为可分离变量的方程。把式中的 y 和 dy 归人方程的一端，x 和 dx 归人另一端，成为

      

这一步骤称为分离变量。分离变量后，两端可分别积分

设 g （y）、 f （ x ）的原函数依次为 g （y）与 f（x），即得方程（ 1-5 - 2 ）的通解

【 例1- 5-2 】xoy平面上一条曲线通过点（ 2, 3 ） ，它在两坐标轴间的任一切线段均

被切点所平分，求它的方程。

【 解 】 设曲线上任一点为（ x ，y），依题意，曲线在点（x，y）的切线在两坐标轴上的截距应为 2x 及 2y , （图 1-5-1 ） ，切线斜率为，因此有

初始条件为x＝ 2 时 y = 3 。

分离变量得

积分得

以初始条件代入得 c₁ = 6 ，故所求曲线方程为

三、一阶线性方程

方程

称为一阶线性方程。当时，式（ 1 - 53 ）称为线性齐次方程；当时，式（ 1 - 53 ）称为线性非齐次方程。

线性齐次方程是一个变量可分离的方程。经分离变量并积分，即得通解

为解非齐次方程（ 1-5-3 ) ，可作变换，代入方程得

整理得

积分得

于是得方程（ 1-5-3 ）的通解

例题

1．求方程的通解。

 

【解 】 利用一阶线性方程的通解公式（ 1-5-4 ）来求解，为此，把所给方程写成标准形式

这里

代入公式（ 15 - 4 ) ，得

2．已知微分方程的一个特解为，则此微分方程的通解是

【解 】 原方程对应的齐次方程的通解为

根据线性方程解的结构可知原微分方程的通解为

故应选（ c ）。