全微分方程

 

几种可降阶的方程

这类方程可直接积分，积分一次得

即把原方程降低一阶。积分 n 次，即可得通解

      

      

       这是不显含 y 的二阶方程，令，则，代人即得

      

这样就把二阶方程降为一阶方程。设求得此一阶方程的通解为，则原方程的通解为

这是不显含 x 的二阶方程，令，则

代人方程得

即把二阶方程降为一阶方程。设求得此一阶方程的通解为，即，分离变量并积分得原方程的通解为

（四）例题

1．求方程

的通解。

【 解 】 这是不显含 y 的方程，令，则，代人方程，得一阶线性方程

利用通解公式（ 1-5-4 ) ,有

积分得

2．求微分方程

满足初始条件的解。

【 解 】这是不显含 x 的方程。令，则，代入方程得

积分得

由 y = 1 时 p = 2 ，得 c_l = 0 ，且知负号不合，故

积分得

由得 c₂ = 4 ，于是所求特解为

线性微分方程解的性质及解的结构定理

设有二阶齐次线性方程

则有

例题

写出该方程的通解

二阶常系数线性齐次方程

二阶常系数线性齐次方程的一般形式是

称为微分方程的特征方程，特征方程的根称为特征根。

按特征根的情况，可直接写出方程的通解如下：

例题1．

 

例题2．