第六节   线性代数

 

一、n 阶行列式

（一）n阶行列式的定义

设有n²个数a_ij（ i = 1 , 2 ， … ，n ；j＝ 1 , 2 ,… ，n），记号

称为n阶行列式。行列式（ 1-8-1 ）也简记作 d_n或△（a_ij）

m_ij称为 d_n的对应于元素 a_ij 的余子式。令

a_ij称为 d_n的对应于元素 a_ij 的代数余子式。

每个n阶行列式都对应一个数，这个数称为该行列式的值。

记号（ 1-8-1 ）既表示行列式，又表示行列式的值。

行列式的值用数学归纳法定义为

按此定义．即有

1 阶行列式

2 阶行列式

3 阶行列式

计算 2 阶和 3 阶行列式的值时，有“对角线法则” :

2 阶行列式时，

即把 a₁₁ 一 a ₂₂的连线称主对角线， a₁₂ 一 a₂₁ 的连线称次对角线。主对角线上各元素的乘积冠， “ + ”号，次对角线上各元素的乘积冠“一”号，然后作代数和，所得结果即为 2 阶行列式的值。

3 阶行列式时，

主对角线上各元素的乘积冠， “ + ”号，次对角线上各元素的乘积冠“一”号，然后作代数和，所得结果即为3阶行列式的值。

（二）行列式的性质

2 ．互换行列式中的两行（列），则行列式的值变号。

3 ．行列式中如果有两行（列）的元素相同，则行列式的值为 0。

4 ．以数 k 乘行列式的某一行（列）的所有元素，等于 k 乘这个行列式。

5 . 行列式中如果有两行（列）的元素对应成比例，则行列式的值为 0。

6 ．如果行列式中某行（列）的元素都表为两数之和，例如第 k 行的元素都是两数之和：

则 d 等于下列两个行列式之和：

7 ．把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变。例如以数 k 乘第 i 行加到第 j 行上，有

8 ．行列式中任一行（列）的元素与它对应的代数余子式的乘积之和等于行列式的值。

式（ 1-82 ）称为行列式按第 i 行展开公式和按第 j 列展开公式。

9 ．行列式中任一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0。即

 

（三）计算 2 阶和 3 阶行列式的值常用对角线法则，计算 n 阶（n≥4 ）行列式的值常用下述两种方法：

1 ．应用性质 7 ，把主对角线以下的元素全化为 0 ，成为上三角行列式

它的值等于 b₁₁b₂₂···b_nn

2 ．选定一行（列），把该行（列）除一个非零元素外其余，n-1 个元素全化为0，然后按这一行（列）展开[公式（1-8-2）]，就把行列式降为n-1阶行列式。

（四）例题

 

二、矩阵

（一）矩阵概念

由 m×n个数排成 m 行，n列的数表

称为m×n矩阵，数a_ij称为矩阵 a 的第 i 行第j列元素

当 m = n时， a 称为 n 阶方阵；当m＝ 1 时， a 称为行矩阵；当n = 1 时， a 称为列矩阵。

元素全为0的矩阵称零矩阵，记作 o 。注意不同型的零矩阵是不相等的。

 

（二）矩阵的运算

1 ．矩阵的加法设 a = ( a_ij ）与 b = ( b _ij ）是同型矩阵，矩阵 a 与 b 的和记作 a + b ，规定

矩阵相加满足：

2 ．数乘矩阵

数乘矩阵满足：

矩阵相加及数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算。

矩阵相乘不满足交换律，即一般ab≠ba。还要注意两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。例如

主对角线上的元素都是 1 ，其他元素都是 0 的方阵称为单位阵，记作 e，阶单位阵也记作 e_n。单位阵满足：

4 ．方阵的幂设 a 为，，阶方阵，规定

方阵的幂满足：

矩阵的转置满足： ( a^t ) ^t = a ; ( a + b ) ^t = a^t + b^t ; （λa） ^t=λa ^t ; （ab）t = b^ta^t 。

若方阵 a = ( a _ij ）满足 (a^t ) = a ，则称 a 为对称阵。对称阵的元素按主对角线对称相等。即 a_ij ＝a_ji。

6 ．方阵的行列式由 n 阶方阵 a 的元素所构成的 n 阶行列式叫做方阵 a 的行列式

记作| a|或 deta 。

|a|=0 时称 a 为奇异（方）阵，|a|≠0 时称 a 为非奇异（方）阵。注意长方阵没有行列式。