（三）逆阵

对于 n 阶方阵 a ，若存在 n 阶方阵 b ，使

则称方阵 a 是可逆的， b 是 a 的逆阵，记作 a ^-1 。

对于可逆矩阵有：

当 a 可逆时，规定 a⁰＝ e ,a ^-k = ( a ^-l ) ^k 。

由|a|的代数余子式a_ij所构成的，阶方阵

称为方阵 a 的伴随阵。根据行列式性质 8 和 9 ，可得

定理 n 阶方阵 a 可逆的充分必要条件是|a|≠0。当|a|≠0  时，

由定理可知，可逆阵就是非奇异阵，不可逆矩阵就是奇异阵。

（四）矩阵的初等变换

1 ．矩阵的初等变换与矩阵的等价

下列三种变换称为矩阵的初等行变换：

初等变换是可逆的。这就是说，若矩阵 a 经初等变换变为 b ，则 b 亦可经初等变换变为 a 。

若矩阵 a 经初等变换变为 b ，则称矩阵 a 与 b 等价，记作 a ~ b 。

a_m×n~b _m×n，的充分必要条件是：存在脱阶可逆阵p和 n 阶可逆阵 q ，使paq = b。

方阵 a 可逆的充分必要条件是 a ~ e 。

 

2 ．行阶梯形及标准形

矩阵经初等行变换可变为行阶梯形和行最简形，再经初等列变换可变为标准形。例如：

上面最后一个矩阵称为行阶梯形，它的特点是每个阶梯只有一行。继续施行初等行变换，可把它化成行最简形：

上面最后一个矩阵称为行最简形，它的特点是行阶梯形中非零行的第一个非零元素为1，且含这些元素的列的其他元素都是零。再施行初等列变换，可把它变为标准形：

上面最后一个矩阵称为标准形，它的特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素都是零。

把矩阵化为行阶梯形和行最简形，是矩阵求秩和解线性方程组的有效手段。矩阵的许多运算都可以通过初等变换来实现。

 

3 ．用初等变换求逆阵

当方阵 a 可逆时， a 可经初等行变换变为 e ，因此对n ×2n矩阵（ a | e ）施行行变换，当把 a 化为 e 时， e 就化为 a^-1。

 

（五）矩阵的秩

定义在矩阵 a 中任取 k 行 k 列，这些行列交叉处的元素按它们在 a 中的排列所构成的行列式，称为矩阵 a 的 k 阶子式。

m ×n矩阵共有c^k_mc^k_n个 k 阶子式。

定义如果在矩阵 a 中有一个 r 阶非零子式 dr ，而所有 r + 1 阶子式全等于 0 ，那么 dr 称为矩阵 a 的最高阶非零子式，数，称为 a 的秩，记作 r ( a ）。零矩阵没有非零子式，规定零矩阵的秩为 0。

定理若 a ~ b ，则 r ( a ) = r ( b ）。

这一定理说明初等变换不改变矩阵的秩，因此，当把矩阵变为行阶梯形，即可看出矩阵的秩，因为行阶梯形的秩就等于非零行的行数。由此还可知，若 r ( a ) = r ，则 a 的标准形左上角为 r 阶单位阵，矩阵的标准形由其行数 m 、列数n及秩 r 所完全确定。

（六）例题

 

【 例 1-8 -5 】设 a 、 b 为n阶方阵，ab＝ o ，则

( a ) a = o 或 b = o             

( b ）ba＝ o

( c ) （ba）² = o       

( d ) ( a + b ) ² = a² ＋b ²

【 解 】 由两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵，知（ a ）不成立；由矩阵乘法不满足交换律，估计（ b ）、（ d ）不成立；而（ ba ) ² ＝baba＝ boa＝ o 知（ c ）成立，故选 ( c ）。

 

因此

 

三、  n 维向量

（一） n 维向量

n 个有序数 a_l , a₂ ， … ，a_n所组成的数组

α=（α₁，α₂…α_n）

称为 n 维向量。

为了沟通向量与矩阵的联系，，维向量亦记作

并把 α称为行向量， a 称为列向量。行向量即行矩阵，列向量即列矩阵，规定向量与矩阵一样进行运算， α^t = a , a^t = "α；行向量与列向量不能相加。

m 个 n 维列向量

所组成的向量组可对应一个 n×m 矩阵

反之，一个 m×n矩阵a有 m 个n维行向量，这些行向量所组成的向量组称为矩阵a 。的行向量组；同时， a 又有n个 m 维列向量，这些列向量所组成的向量组称为 a 的列向量组。

（二）向量组的线性相关与线性无关

定义  设有向量组 a : α₁, α₂， … ，α_m 与向量β ，如果有一组数 k_l , k₂， … ， k_m使

则称向量β是向量组α₁, α₂， … ，α_m的线性组合，或称β可由α₁, α₂， … ，α_m，线性表出

定义设有向量组 a : α₁, α₂， … ，α_m，如果有一组不全为 0 的数 k_l , k₂， … ，k_m使

则说向量组 a 是线性相关的，否则说向量组 a 是线性无关的。

这时，向量组 a 线性相关，也就是线性方程组。

有非零解，而向量组 a 线性无关也就是上列线性方程组没有非零解。

这时，向量组 a 是否线性相关，也就是线性方程组

是否有非零解。

定理设向量组 α₁, α₂， … ，α_m线性无关，而向量组α₁, α₂， … ，α_m，β线性相关，则β可由 α₁, α₂， … ，α_m线性表示，且表示式是唯一的。