（三）向量组的秩

定义设有向量组 a ( a 可以含有限个向量，也可以含无限多个向量），如果在 a 中能选出 r 个向量 α₁, α₂， … ，α_r，满足

( i ) α₁, α₂， … ，α_r线性无关；

( ii ) a 中任意 r 十 1 个向量都线性相关。

则向量组α₁, α₂， … ，α_r称为向量组 a 的最大线性无关向量组（简称最大无关组），数 r 称为向量组 a 的秩。只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为 0。

按此定义可知：向量组 a 线性相关的充分必要条件是 a 的秩小于 a 所含向量的个数；线性无关的充分必要条件是 a 的秩等于 a 所含向量的个数。

定义设有两个向量组 a 与 b ，如果 a 中每个向量都能由向量组 b 线性表示，则称向量组 a 能由向量组 b 线性表示。如果向量组 a 与 b 能相互线性表示，则称向量组 a 与 b 等价。

显然，一个向量组与它自己的最大无关组等价。

定理  若向量组 a 能由向量组 b 线性表示，则向量组 a 的秩不大于向量组 b 的秩。若向量组 a 与 b 等价，则它们的秩相等。

注意向量组等价与矩阵等价是两个不同的概念，不要混淆。

定理  若矩阵 a 经行变换变为矩阵 b ，则 a 的行向量组与召的行向量组等价；若矩阵 a 经列变换变为 b ，则 a 与 b 的列向量组等价；矩阵 a 的行向量组的秩以及列向量组的秩都等于矩阵 a 的秩。

由上述两定理可推知

( i ）设 n 个 n 维向量构成方阵 a ，则此n个向量线性相关的充分必要条件是| a | =0。

( ii ）设 dr 是矩阵 a 的最高阶非零子式，则 dr 所对应的 r 个行向量即是 a 的行向量组的最大无关组， dr 所对应的r个列向量即是 a 的列向量组的最大无关组。

( iii ）设 c ＝ab，则r（ c ）≤ r ( a ) , r ( c ) ≤（ b ）。当b可逆时， r ( c ) = r ( a ) ，当 a 可逆时， r ( c ) = r ( b ）。

（五）例题

[ 例 1 - 8 - 9 ］设 a 为n阶方阵，且| a | =0，则必有

( a ) a 中某一行元素全为 0

( b ) a 的第n行是其余，n - 1 行的线性组合

( c ) a 中有两列对应元素成比例

( d ) a 中某一列是其余 n - 1 列的线性组合

【 解 】 | a | =0是 a 的、行（列）线性相关的充分必要条件，而前三项都是充分条件而是非必要条件，只有（ d ）是充分必要条件，故应选（ d ）。

 

【 解 】 （ b ）和（ c ）是必要条件但不是充分条件； ( d ）是充分条件但不是必要条件。（ a ）是线性无关定义的正确叙述，故应选（ a ）。

故 r ( a ) = 3 ，从而列向量组的秩为 3 。由阶梯形矩阵知1，2 , 5 列中有 3 阶非零子式，故 a_l , a₂, a₅ 是列向量组的一个最大无关组。

 

四、线性方程组

（一）齐次线性方程组

1 . n 个变量 m 个方程的齐次线性方程组

记

则方程组（ 1 - 83 ）可记作

其中 a 称为方程组（ 1 - 8 - 3 ）的系数矩阵。式（ 1 - 8 - 4 ）是一个向量方程，它的解称为方程组（ 1 - 8 - 3 ）的解向量。

2 ．齐次线性方程组通解齐次线性方程组（ 1 – 8-3 ）的全体解向量所组成的向量组记作 s , s 的最大无关组称为齐次线性方程组（ 1 -8-3 ）的基础解系。

定理设齐次线性方程组（ 1 – 8-3 ）的系数矩阵 a 的秩 r ( a ) = r , ，则其解集 s 的秩为 n - r ，即它的基础解系含n - r 个线性无关的解向量。

      

其中 k_l ，k₂， … ， k _n-r，为任意实数。

（二）非齐次线性方程组

1 ．非齐次线性方程组

记

则式（ 1 - 85 ）可记作

其中 b ≠ 0 , a 称为方程组（ 1-8-5 ）的系数矩阵。

当 b 用0代替，式（ l – 8-6 ）即成式（1-8-4 ）。( l – 8-4 ）称为非齐次方程组所对应的齐次方程组。

方程组（ 1-8 - 5 ）如果有解．就称它是相容的．（1 – 8-6 ) 如果无解则称它不相容。

记

b 称为方程组（ 1-8 - 5 ）的增广矩阵。

定理  非齐次线性方程组（ 1 - 8 - 5 ）有解的充分必要条件是它的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩，即 r ( a ) = r ( b ）。当 r ( a ) = r ( b ) ＝n时方程组（ 1 - 8 - 5 ）有唯一解；当 r ( a ) = r ( b ) < n 时方程组（1- 8 - 5 ）有无限多个解。

2 ．非齐次线性方程组的通解

 

（三）用初等行变换解线性方程组

把齐次方程组的系数矩阵化为行最简形，即可写出它的通解。把非齐次方程的增广矩阵化为阶梯形，即可知它是否有解；在有解时继续化为行最简形，即可写出它的通解（参看例 18 - 14 与例 1 - 8 -15 ) 。

 

 

（四）例题

【 例 1 - 8 - 13 】已知方程组

有无穷多个解，则参数λ＝

( a ) 0       

( b ) 1        

( c ) 2        

( d ) 3

可知当λ＝ 1 , r ( a ) = 2 , λ＝ 3 时 r ( a ) = 3 ，方程组有唯一解，

故（ b ) 与（ d ）不合；当λ＝ 0 时 r ( b ) = 3 ，无解，故（ a ）不合；当λ＝ 2 时 r ( a ) = r ( b ) = 2 ，有无穷多个解，故应选（ c ）。

 

【 例1- 8 - 14 】 求解方程组

【 解】用初等行变换，把系数矩阵化为行最简形：

 

【 例1- 8 - 15 】 求解方程组

【 解 】把增广矩阵化为行最简形：

（四）向量的内积与范数

 1 ．向量的内积与范数

设

令

[x ，y]称为向量 x 与 y 的内积（数量积）。

当 x 、 y 为列向量时，用矩阵记号表示，有

令

|| x ||称为向量 x 的范数（模、长度）。

范数等于 1 的向量称单位向量。

2 ．正交向量组与正交矩阵

当 [x ，y] ＝ 0 时，称向量 x 与 y 正交。

一组两两正交的非零向量称为正交向量组。

定理设α₁, α₂， … ，α_r为一个正交向量组，则 α₁, α₂， … ，α_r线性无关。

设方阵 a 满足aa^t = e （即 a^t = a^-1) ，则 a 称为正交矩阵。

正交阵的行向量组及列向量组都是正交向量组，且每个向量都是单位向量。

 

特征值与特征向量

定义 设 a 为 n 阶方阵，如果数λ与非零列向量 x 使

则数λ称为方阵 a 的特征值，非零向量 x 称为 a 的对应特征值入的特征向量。

记 f （λ）= | a –λe |，这是λ的n次多项式，称为矩阵 a 的特征多项式。 f （λ）= 0 称为特征方程，特征方程的根就是 a 的特征值。 n 阶方阵 a 有n个特征值（实的或复的，重根按重数计算个数）。

设λ₀是 a 的一个特征值，由于| a –λ₀e | = 0 ，故齐次方程（ a -λ₀e ) x= 0 必有非零解，这个非零解就是对应于特征值λ₀的特征向量。

定理设 a 是 n 阶实对称方阵，则 a 的特征值都是实数，且有二个两两正交的特征向量。

相似矩阵

定义设 a 、 b 都是n 阶方阵。如果可逆阵 p 使

则称 b 是 a 的相似矩阵，也称 a 与 b 相似（或称 a 是 b 的相似矩阵，也称 b 与 a 相似。

       当 a 与 b 相似时， a 与 b 的秩相等，且 a 与 b 等价。相似矩阵的特征多项式相同，从而特征值相同

       当n阶方阵 a 与对角阵λ相似时，即存在可逆阵 p 使

       则 λ的主对角线上的元素恰是 a 的二个特征值，组成 p 的 n 个列向量恰是 a 的对应特征值的特征向量

       定理 n 阶方阵 a 能与对角阵相似的充分必要条件为 a 有 n 个线性无关的特征向量。

       定理如果 n 阶方阵 a 有 n 个不同的特征值，那么 a 必定能与对角阵相似。

       定理 n 阶实对称阵必定能与对角阵相似。

 

【 例1- 8 - 18 】设 2 是方阵 a 的特征值，则 a² - 3a + e 必有特征值

( a ) 0      

( b ) 1     

( c ）- 1     

( d ）以上都不对

六、二次型

（一）二次型及其矩阵表示

二次齐次函数

称为二次型。

其中 a 为对称阵。对称阵 a 就称为二次型 f 的矩阵，而 f 就称为对称阵 a 的二次型。规定二次型 f 的秩就是对称阵 a 的秩。

合同矩阵

（二）二次型的标准形

只含平方项的二次型称为二次型的标准形。对于二次型，主要的问题是：寻求可逆的线性变换

把二次型化为标准形，这就是使

这也就是要寻求可逆阵 c ，使

定理  对于对称阵 a ,必有正交阵p，使

其中

但是，二次型的标准形不唯一，即与对称阵 a 合同的对角阵不唯一。当然，这些对角阵的秩都等于 r ( a ）。

惯性定理

给定二次型f，它的不同标准形中系数取正值的个数（称为正惯性指数）保持不变。

给定对称阵 a ，与 a 合同的一切对角阵中主对角线元素取正值的个数全相等。

 

正定二次型

（三）例题

( a ) 0  

( b ) 1    

( c ) 2     

( d ) 4

【 解 】 对 f 的矩阵施行初等变换：

由 f 的秩为 2 知 r ( a ）= 2 ，故 a - 2 = 0 , a = 2 。因此应选（ c ）。

故所用正交变换为