第七节　概率与数理统计

 

1.7 概率与数理统计

随机事件与样本空间；事件的关系与运算；概率的基本性质；

古典型概率；条件概率；概率的基本公式；事件的独立性；独立重复试验；

随机变量；随机变量的分布函数；

离散型随机变量的概率分布；连续型随机变量的概率密度；

常见随机变量的分布；随机变量的数学期望、方差、标准差及其性质；

随机变量函数的数学期望；矩、协方差、相关系数及其性质；

总体；个体；简单随机样本；统计量；样本均值；样本方差和样本矩；

χ2分布；t分布；f分布；

点估计的概念；估计量与估计值；矩估计法；最大似然估计法；

估计量的评选标准；区间估计的概念；

单个正态总体的均值和方差的区间估计；

两个正态总体的均值差和方差比的区间估计；

显著性检验；单个正态总体的均值和方差的假设检验。

 

概率与数理统计是随机数学的两个分支。要求读者初步掌握处理随机现象的基本方法。

一、随机事件与概率

直观上说，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事情称为随机事件（简称事件） ; 概率是随机事件发生可能性大小的度量。记事件 a 的概率为 p ( a ）。把必然事件（记作 u ）与不可能事件（记作 v ）看作特殊的随机事件。规定

（一）随机事件之间的关系

 1 ．包含   事件 b 包含事件 a 表示“当 a 发生时 b 必定发生”，记作 ba （或 a b ）。

 2 ．相等   事件 a 与 b 相等表示“ a  b 且 b  a " ，记作 a = b 。

 3 ．互不相容（或互斥）   事件 a 与 b 互不相容表示“ a 与 b 不可能同时发生”，记作ab＝ v 。

 

（二）随机事件之间的运算

 1 ．和事件  事件 a 与 b 的和事件表示“ a 与 b 中至少有一个发生”，记作 a + b （或 ab ）。

 2 ．积事件  事件 a 与 b 的积事件表示“ a 与 b 同时发生”，记作ab（或 a b ）。

3 ．对立事件（或逆事件）  事件 a 的对立事件表示 “ a 不发生”，记作 。

 4 ．差事件   事件 a 与 b 的差事件表示“ a 发生且 b 不发生”，记作 a - b （或 a）。

（三）概率的计算公式

1 ．求逆公式 p （） = 1 -p（ a ）。

2 ．加法公式  p ( a + b ) ＝p（ a ) ＋p（ b ）- p（ab）。当 a 与 b 互不相容时， p ( a + b ) = p ( a ) + p ( b ）。

3 . p ( b - a ) ＝p（ b ）- p(ab）。当 a b ，那么 p ( a )   p ( b ) ，且 p ( b - a ) = p ( b ）- p ( a ）。

4 ．乘法公式   p（ab）＝p（ ab）p（ b ) = p （b a ）p（ a ）。当 a 与 b 相互独立时， p （ab） = p ( a ) p ( b ）。

       条件概率与相互独立性