5 ．全概率公式   如果事件 a₁ ， … ，a_n构成一个完备事件组（即 a₁ ， … ， a_n两两互不相容， a₁ + …＋ a _n, = u ，且p（ a _i ) > 0, i = 1 ， … ，n），那么

 

6 ．贝叶斯公式 （或逆概率公式）  如果事件 a₁ ， … a _n构成一个完备事件组，那么，当 p （ b ) > 0 时，

 

古典概型

如果试验只可能有有限个（记作n ）不同的试验结果，且这些不同结果的出现具有等可能性,那么随机事件 a 的概率为

其中m为 a 所包含的不同的试验结果的个数。这个概率称为古典概率；用这个方法计算概率的数学模型称为古典概型。

例题

1．设p（ a ) = 0 . 2 ，p（ b ) = 0 . 5 。在下列三种情形下，分别求p （ a + b ) : （ 1 ) a 与 b 互不相容； （ 2 ) a 与 b 有包含关系； （ 3 ) a 与 b 相互独立。

【解】 （ 1 ）由ab = v 推得p（ a + b ) ＝p（ a ) ＋p（ b ) = 0 . 2 + 0 . 5 = 0 . 7 .

（ 2 ）由于p（ b ) ＞p（ a ) ，因此 a  b 。由 a + b = b 推得p（ a + b ) ＝p（ b ) = 0 . 5 .

（ 3 ）由于 a 与 b 相互独立，因此p （ab)＝p（ a ）p（ b ) = 0 . 2 ×0 . 5 = 0 . 1 。于是，p（ a + b ) ＝p（ a ) + p （ b ）- p（ab ）＝ 0 . 2 + 0 . 5 - 01 = 0 . 6 .

 

2．两台机床加工同样的零件，第一台出现次品的概率是 0.04 ，第二台出现次品的概率是 0 . 02 。加工出来的零件放在一起，第一台加工的零件占 25 ％。（ 1 ）从这批零件中任意取出一个，求它是次品的概率； （ 2 ）从这批零件中任意取出一个，经检查它是次品。求它是由第二台机床加工的概率。

【 解 】  设事件 a _i表示“任意取出的零件是由第 i 台机床加工的” , i = 1 , 2 ；事件 b 表示“任意取出的零件是次品”。由题设知道，p（ a_l ) = 0 . 25 ，p（ a₂ ) = 1 - p（ a₁) = 0 . 75 ；且p（ b a ₁ ) = 0 . 04 , p （ b  a₂ ) = 0 . 02 。

 （ 1 ）由全概率公式算得

p （ b ) = 0 . 04x0 . 25 + 0 . 02x0 . 75 = 0 . 025

（ 2 ）由贝叶斯公式算得

 

3．口袋里装有 12 只外形相同的球，其中 5 只是红球， 7 只是白球。从口袋中任意取出 2 只球。求它们都是红球的概率。

【 解 】  设事件 a 表示“任意取出 2 个球都是红球”。从 12 只球中任取 2 只，共有种不同的结果，即 n ==66 。从 12 只球中任意取出 2 个球，它们都是红球，共有 种不同的结果，即 m =＝ 10 。因此

4． 在 1 , 2 ， … ， 100 中任取一个数。（ 1 ）求它既能被 2 整除又能被 5 整除的概率； （ 2 ）求它能被 2 整除或能被 5 整除的概率。

【 解 】  任取一个数，“它能被 2 整除”记作事件 a , “它能被 5 整除”记作事件 b 。

（ 1 ）事件ab表示“既能被 2 整除又能被 5 整除”。满足这样条件的数共 10 个，即m= 10 ，于是，由n= 100 推得，p （ ab )= =0.1 。

 （ 2 ）事件 a + b 表示“能被 2 整除或能被 5 整除”。能被 2 整除的数共 50 个，能被 5 整除的数共 20 个。由古典概率计算公式得到

按加法公式，并利用 p （ab） = 0 . 1 可得

p （ a 十 b ) = 0 . 5 + 0 . 2 一 0 . 1 = 0 . 6

由于p（ab） = p （ a ）p（ b ) ，因此事件 a 与 b 相互独立。