一维随机变量的分布和数字特征

随机变量是概率统计中重要的基本概念。随机事件可以通过随机变量 x 表示，随机事件的概率一般形如p（ a < x b ) ，p（ a < x < b ) ， … ，其中- a  b ＋ 。如果一个变量依试验结果的改变而取不同的实数值，那么称这个变量为（一维）随机变量。

 随机变量分布的含义是“随机变量取值的统计规律”。常用的形式有概率分布表，概率密度函数与分布函数。随机变量数字特征的含义是“用某些实数来反映随机变量分布的主要特征”。常用的形式有（数学）期望与方差。

 

离散型随机变量的概率分布表

离散型随机变量 x 只可能取有限个或一串值，假定记作 x ₁, , x₂ ， … ，x_k， … 。 x 的概率分布（表）为

其中=1, p_k=p （ x = x _k） > 0 , k = 1 , 2 ， … 。由上述概率分布表可以计算概率

其中i 是实数轴上的一个集合。

 

连续型随机变量的概率密度函数

连续型随机变量 x 的概率密度函数 p （ x )必须满足

由上述概率密度函数可以计算概率

对任意一个实数 x ₀，p（ x = x_o ）= 0

随机变量的分布函数

 1 ．定义  随机变量 x 的分布函数 f （ x ）定义为

2 ．性质

3 ．设 x 为连续型随机变量，概率密度函数为 p （x）

（ 1 ) f （ x ）是连续函数；

 （ 2 ）在 p （ x ）的连续点处， f ' （ x ) = p （ x ) ;

 

随机变量的期望

随机变量 x 的期望反映了 x 的平均取值，记作 e （ x ）。

 1 ．定义  当 x 为离散型随机变量时，

当 x 为连续型随机变量时，

2 ．性质

（1 )e（ c) =c ,其中c是常数；

（2 )e（kx ) = ke （ x ) ，其中k是常数；

（ 3 ) e （ x + c ) = e （ x ) ＋c，其中c是常数；

（ 4 ) e （ kx + ly + c ) = ke （ x ) + le （ y ) ＋c.

 3 ．随机变量函数的期望

设 y = f （ x ) ，当 x 为离散型随机变量时，

当 x 为连续型随机变量时，

随机变量的方差

随机变量 x 的方差反映了 x取值的波动程度，记作 d （ x ）。

1 ．定义  d （ x ) = e [ x 一e （ x ) ] ² , 称为 x 的标准差

2 ．计算公式。 d （ x )= e （x² ）一［ e （ x ) ] ² 。

3 ．性质

（1)  d （c)= 0 ，其中c是常数；

（ 2)  d（kx)= k²d （x ),其中k是常数;

（3)  d（x+c) =d （x), 其中c是常数；

（4)  当 x 与 y 相互独立时， d （ kx + ly＋c） = k²d （ x ) + l²d （ y ）。

常用随机变量的分布和数字特征

 1 ．二点分布（或伯努利分布），参数为 p ,0 < p < 1 ，它的概率分布为

且 e （ x ) = p , d （ x ) = p （ 1 - p ）。

 2 ．二项分布，参数为n、 p , 0 < p < 1 。它的概率分布为

且 e （ x ) = n p , d （ x ) ＝n p （ 1 一 p ）。

3 ．泊松分布，参数为，＞ 0 。它的概率分布为

且 e （ x ) = d （ x ) ＝。

 4 ．均匀分布，参数为 a 、 b ,a < b 。它的概率密度函数为

且e （ x) =（ a ＋b） , d （ x ) =（b –a )² .

5 ．指数分布，参数为，＞ 0 。它的概率密度函数为

且 e （ x ) =，一贵， d （ x ) =.

6 ．正态分布 n （, ) ，参数为,， -＜x＜十，＞ 0 。它的概率密度函数为

且 e （ x ) ＝， d （ x ) ＝。