（八）正态分布的概率计算

1 ．当 x  n （ 0 , 1 ）时， p （ a < x  b ) ＝（ b ) - （a) ,其中（ x ）是标准正态分布的分布函数，它的函数值可以查表得到。（ x )满足

2 ．当 x n （,)时， x 的分布函数

例题

1．设离散型随机变量 x 的概率分布表为

试求： ( 1 ) p ( x ＜） ; ( 2 ) y = x² + l 的概率分布表； ( 3 ) e ( x ）与 d ( x ) ;

【解】  ( l ) p (x  ＜） = p （一＜ x ＜） = p ( x ＝- 1 ) ＋p（ x=0 ) + p ( x = 1 ) = 0 . 1 + 0 . 2 + 0 . 3 = 0 . 6 。

( 2 ) f ( x ) = x² + l , f （- l ) = f ( l ) = 2 , f (0 ) = 1 , f ( 4 ) = 17 。因此， y = x² + 1 的概率分布表为

( 3 ) e ( x ) ＝- l×0 .1 + 0×0. 2 + l×0 . 3 + 4×0 . 4 = 1 . 8 。由于 e （x²） = （-1 ) ²×0. l + 0²×0 . 2 + 1²×0 . 3 + 4² ×0 . 4 = 6 . 8 。因此 d ( x ) = 6 . 8 - 1 . 8² = 3 . 56 。

 

2．设连续型随机变量 x 的概率密度函数为

试求： ( 1 ）p（ x < 0 . 5 ) ; ( 2 ) f ( 0 . 5 )    ( 3) e ( x ) 与 d ( x ）。

3．设 x 服从参数为λ＝ 2 的泊松分布，则

（ 1 ) e ( 3x 一 2 ）等于

( a ) 9         

( b ) 1                

( c ) 7            

( d ) 4

( 2 ) d （-2x + l ）等于

( a ) 3         

( b ) 8         

( c ) 2       

( d ) 4

【 解 】 已知 e ( x ) = d ( x ) = 2 。

因此， e ( 3x - 2 ) = 3e ( x ）- 2 = 3×2 – 2=4          故（ 1 ）选（ d ）。

又 d （- 2x + 1 ) = （- 2 ) ²d ( x ) = （- 2 ) ² ×2= 8 ，  故（ 2 ) 选（ b ）。

 

4．设φ( 1 ) = a, x ~ n ( 2 , 9 ) ,则p（- 1 < x < 5 ）等于

( a ) 2a + 1    

( b) 2a – 1    

( c ) a + l    

( d ) a – 1

【 解 】 μ＝ 2，σ＝ 3 。φ（- l ) = l –φ( l )= 1 - a 。因此，p（- 1 < x < 5 ) =

，故应选（ b ）。

 

5．设 x 与 y 相互独立， d ( x ) =2 , d ( y ) = 3 ，则 d ( 2x - y ）等于

( a ) l    

( b ) 5      

( c ) 7     

( d ) 11

【 解 】 d ( 2x - y ) = 2²d ( x ) + （- 1 ） ²d ( y ) = 4 × 2 + 1 × 3 = 11 ，故应选（ d ）。