（七）平均碰撞频率和平均自由程

     平均碰撞频率：一个分子单位时间里受到的平均碰撞次数.

平均自由程：一个分子连续两次碰撞之间经历的平均自由路程.

假定每个分子都是直径为d的小圆球，如图1，它运动过程中，距离为2d的分子都将与之发生碰撞，经过简单的推导，得平均碰撞频率为

 

                              

        (1.10)

 

图 1

n为单位体积内的气体分子数（分子数密度）。                

平均自由程：   (1.11)

考虑到理想气体状态方程 平均自由程表达式常写作以下形式         (1.12)

                                                    

当温度t一定时，分子的平均自由程与压强p成反比，压强越小，则越长。

（八）麦克斯韦速率分布律

对于处在平衡态下的气体而言，气体中的每个分子各以不同的速度运动着。由于分子间的碰撞，他们速度的大小和方向也不断变化。然而从大量分子的整体来看，他们的速率分布遵循着麦克斯韦速率分布律。

1、麦克斯韦速率分布函数

         (1.13)                  

物理意义：分子速率在v附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比。

注意下列

n：理想气体系统的分子总数。

：表示速率分布在区间内的分子数。

：表示分布在此区间内的分子数占总分子数的百分比，或者其速率分布在这个区间内的概率。：分子速率在附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比，或一个分子速率分布的概率密度。

麦克斯韦应用统计概念从理论上确定了f(v)的具体形式

 

(1.14)   

图 2

2.麦克斯韦率率分布曲线

                    

（1）           图2中粉色小矩形面积的意义：表示分布在v₃→v₃+dv区间内的分子数占总分子数的百分比，或表示某分子速率在v₃→v₃+dv区间内的概率。

（2）           图2中绿色区域面积的物理意义， ，它表示速率v₁→v₂区间内的分子数占总分子数的百分比。的含义，速率v₁→v₂区间内的分子数

（3）   整个曲线下面积的意义

上式表示速率在0→∞间的气体分子总数与总分子数之比为100%，即

                                               

上式称为归一化条件。

（4）最可几速率v_p

f（v）曲线极大值处所对应的速率值称为最可几速率。

v_p的物理意义：表示在相同的速率间隔内，气体分子速率在v_p附近的几率最大。

（5）t变化时，f（v）曲线如何变化

对一定量的理想气体，不同温度下，有不同形状的速率分布曲线，如图3。温度越高，速率大的分子增多，v_p向速率增大的方向移动，曲线将拉宽。由归一化条件可知，曲线下总面积恒等于1，于是，曲线高度降低，变得平坦。若温度降低，则曲线极大值向左偏移，曲线变高变尖锐。  

 

图 3

               

3、气体分子的三种统计速率

l（1） 最概然（最可几）速率

得：

       (1.15)                                                         

（2） 平均速率

由算数平均值定义

得                                  (1.16)

                        

将麦克斯韦速率分布函数代入积分得

                   

（3）方均根速率

同理

将分布函数f(v)代入上式积分并开方得

图 5

图 4

                                       

如图4所示当同种气体处于同一平衡态（同一温度t）时，有，且随温度的增加而分别增大。当不同种气体处于同一平衡态时，三种速率的平均值均与成反比，参照图5。

 

小结：以上就是考试大纲中列出的，属于气体动理论范畴的内容。大体可以分为三部分：第一部分，描述气体系统的宏观量（状态量：温度t，压强p）及其微观对应，宏观量之间的满足的气体状态方程，以及与温度，自由度相关的系统内能的表达式； 第二部分，比较独立，描述系统内分子碰撞性质的物理量，一共两个概念，记住其表达式即可；第三部分，分子的速率分布，及速率相关的三个统计平均值，要明确f(v)的含义。

二 相关练习

（一）历年真题

气体内能 由理想气体状态方程比较可得

 

5. 一定量刚性双原子分子理想气体存储于一容器中，容器的体积为v，气体的压强为p，则气体的动能为：

a、3 pv /2      （b）、5 pv /2        c、 pv /2         d、pv

选（b）

对于双原子分子来说i=5，因而e=5/2νr t ，借助于理想气体状态方程pv=νr t=(m/m)rt,可以得到最终正确答案。