机械波

机械波的产生和传播；一维简谐波表达式；描述波的特征量；阵面， 波前，波线；波的能量、能流、能流密度；波的衍射；波的干涉；驻 波；自由端反射与固定端反射；声波；声强级；多普勒效应。

一、基本内容

（一）机械波的产生和传播

    1、产生机械波的条件：（1）波 源——产生振动。（2）弹性媒质——传播振动。

2、波的传播：注意：（1）波动中每一个质点均在其平衡位置附近振动，不“随波逐流”，传播的是振动状态。

    （2）介质中质点的振动方向与波的传播方向是两个不同的概念，两者方向不一定一致。

    （3）介质质点的振动是波源振动的重复，在波的传播方向上，质点的相位依次比波源落后。

    3、波的分类

按照质元振动方向和波的传播方向间的关系，波分为两类：

（1）如果质元的振动方向与波的传播方向相互垂直，这种波称为横波。例如拉紧的绳子，使其一端振动，那么就会在绳子上形成横波。

（2）如果质元的振动方向与波的传播方向相平行，这种波称为纵波。例如空气中的声波就是纵波。

（二）波的几何描述

波阵面：在波动过程中，把振动相位相同的点连成的面，简称波面。也称波阵面，等相面。

波前：在任何时刻，波面有无数多个，最前方的波面即是波前。波前只有一个。

波线：沿波的传播方向作的一些带箭头的线。波线的指向表示波的传播方向。

在各向同性介质中，波线与波面是垂直的。引入波面的概念后，可以按照波面对波进行分类，如图一所示。例如波前为球面的波，称为球面波； 波前为平面的波，称为平面波；波前为柱面的波，称为柱面波。

图一

    （三）描述波的物理量及其相互联系

    1、描述波动的物理量（分为两类，）

    （1）描述介质质点振动的物理量：振幅、周期、频率、相位、初相、位移、速度（振动）和加速度

    （2）描述波传播的物理量

波速 u ：振动状态传播的速度，又叫相速。速度的大小由媒质的性质决定，与波源情况无关。

例如，标准情况下，不管是高频声音还是低频声音，在空气中传播的速度都是340m/s.

    周期t：一个完整的波通过波线上的一点所需的时间。显然，也是该点完成一次全振动的时间，所以波的周期等于振动周期。

    频率（）：单位时间通过波线上一点的完整的波形数目，即，波的频率等于振动频率，由波源决定，和介质无关。

波长l：波线上相邻的，振动状态相同的两质元间的距离。它由波源和媒质共同决定。

这四个量之间的关系，可以这样去记忆，在一个周期t内，波前进了一个波长l的距离，所以波速与波长以及周期的关系为u=l/t, 考虑到 ，因而还有u=lν。

固体内的横波和纵波的传播速度分别为

横波： 纵波： 其中g为固体的切变模量，y为固体的杨氏弹性模量；ρ为固体的密度。

液体和气体中，纵波波速为：，其中b为容变弹性模量。

    （四）一维简谐行波的表达式

   1、沿x轴正向传播的平面简谐行波

设无吸收均匀弹性介质中传播的机械波波线上o点的振动规律已知，（注意：该点不一定是波源)，取其为坐标原点。

图二

    x—质点在波线上的平衡位置的坐标。

    y—质点振动时对平衡位置的位移。

设o点的振动方程为                 ，表达式中a为振幅，描述质元振动过程中的最大位移值，是一个正值。ω为振动的角频率；φ为o点振动初相位。

振动由o→p所需的时间为：

   

    即 t 时刻，p点的振动状态是o点在 时的状态，

   p 点在任一时刻 t的位移应与 o 点在 时刻的位移相等：   

   

         可以表示波线上任意点 任意时刻的振动情况，为沿x轴正向传播的平面简谐行波的方程。

注意：

（1）      x一定时，（令x = x₁），则 y 只是t的函数，波动方程变为：

。这是一个振动方程，给出x₁点的振动位移随时间的变化，x₁点的振幅为a，初相位为。显然，不同点的振动初相位不同。

（1）      t一定时，(令t=t₁), 则y只是x的函数，波动方程变为：

       ，该式描述的是t₁时刻波线上任一质元的位移，如图所示。

 

（2）      当x 和t都变化时，波动方程表示在波的传播方向所有质元各个时刻的位置。在时间内，振动状态将传播的距离，波形将向前平移的距离，平移速度为u, 表达式描述的是跑动的波，称为行波。

    

（3）      在波动过程中，波线上两点x₁与x₂两处质元振动的相位差为

               

2、     沿x轴负向传播的平面简谐行波

      

   

   

     【例】一平面简谐波的表达式为  则此波的波长为：

      a π/ 100             b π/ 200              c π/ 50                 d 50

     答案 a

     思路：此类题目，由一个简谐波的表达式推算出波长、频率、周期、振幅或者其他相关各量的通用方法就是比较表达式与标准简谐波表达式，找出对应的系数即可。

     分析：标准表达式展开为比较可知u以及ω的值，再利用各物理之间的关系，便可计算其他的量。

（五）波的能量

   1、体积元的能量、能量密度

波传到介质中某处，该处体积元开始振动，具有动能de_k，同时由于形变，也具有势能de_p，波的能量就是指的这些势能与动能之和。两者大小相同，变化同步，某一质元其动能达到最大值的时候，势能也是最大的。

图6

具体形式为：

    （6）

    式中为介质密度，dv为体元的体积

体积元的总机械能:

（7）

上式表明，体积元中的总能量随时间做周期性变化，说明任一体积元都在不断的吸收和放出能量，它们是传播能量的载体。因此，波的传播是能量传播的一种形式。

波的能量和振动能量的区别

    ①波传播过程中任一体积元，其动能和势能随时间同相变化，它们同时达到最大，同时达到最小；谐振系统的动能和势能相位差，动能达到最大时，势能最小为零，势能达到最大时，动能最小为零。

②波的传播过程中任一体积元的总能量随时间做周期性的变化；谐振系统的总能量是一恒量。 

介质中单位体积内所存储的能量称为能量密度，即

         （8）

    平均能量密度 (对时间取平均)：

                                                           

2、能流与能流密度

    平均能流——单位时间内通过某一面积的平均能量，称为通过该面积的平均能流。也称为波的功率，用表示为（9）

能流密度 (波的强度) ——通过垂直于波传播方向的单位面积的平均能流称为平均能流密度，通常称为能流密度或波的强度。（10）

显然，平均能流密度与波的振幅、圆频率以及波速均有关，单位是w/m²

波的叠加原理

当几列波在介质中传播时，在相遇的区域中，他们依然独立的保持着各自原有的特性，（包括频率、波长、振幅、振动方向等），按照原来的传播方向继续前进，犹如没有遇到其他波一样。在相遇区域内的质点的振动位移，将是各列波单独存在时的振动位移之和。

（六）波的衍射、惠更斯原理

介质中波阵面（波前）上的每个点，都可看成是产生球面子波的波源；在其后的任一时刻，这些子波的包络面构成新的波阵面。

惠更斯原理能很好的解释衍射现象：波在传播过程中，如果遇到障碍物时，波线发生弯曲并绕过障碍物的现象。  

相对于波长而言，障碍物越大，衍射现象越不明显，障碍物越小，衍射现象越明显。