1.      平衡——平衡力，受力图，力系的等效和简化

力的等效和简化中注意：力的投影和力的分力是两个不同的概念，仅在直角坐标系中两者才相等。如：2010年试卷中的

β

分析：投影是力的大小乘以力与该轴的正向间的夹角的余弦。

f在y轴上的投影fy=fcosβ。β=90^。，fy=0

 

而f在x轴上的分力，只对求解另外一个分力有用。相当于已知合力和一个分力，求另一个分力的问题。

 

2.      平面力系的简化：

 

共交力系：合力

a）闭合的矢量图形时，合力为零；

b）一般建立直角坐标系，求它们在两个轴上的投影的代数和。

 

平面任意力系（包含共交力系）：力和力矩

1）合力，与作用点无关，平移力到一点形成公交力系合成；

2）力矩与所选择的点有关。所以计算力矩的时候，最好保持原来位置计算。 如：

如2010年48题：

 

解析：（a）

三个力首尾顺次相连。（几何法），合力为零。

但是三个力不是平面的共点力，所以不是平衡力，说明有力矩（力偶）存在。

答案中的力矩以a为轴，m_a（f_ac）=m_a（f_ab）=0 ， m_a=m_a（f_bc）

3.平面力系的平衡条件和平衡方程式：（力矩，力偶）

六、物体系统的平衡

实质：

物体进行受力分析，应用力系平衡方程式求解。

（一）   静定平衡问题

静定：若n个未知量，有n个独立平衡方程的数目，则应用刚体静力学的理论，就可以求得全部未知量

         静不定是指未知量大于独立平衡方程数目的情形。这不属于掌握范畴。

（二）物体系统平衡问题的解法和步骤

1． 选取研究对象。

先整体后部分。便于求解。

2．分析研究对象的受力情况并画受力图。

受力完整：在各物体的拆开处，物体间的相互作用力必须符合作用与反作用定律。

实际受力：画物体系统中某研究对象的受力图时，遵循实际受力，不能将作用在系统中其他部分上的力移动和合成。

3．列出平衡方程。

适当选取投影轴和矩轴(或矩心)，可大大简化计算。

投影轴应尽量选取与力系中多数未知力的作用线垂直；而矩轴应使其与更多的未知力共面(矩心应选在多数未知力的交点上，力矩=0)。

4．解平衡方程求未知量。

若求得的约束反力或反力偶为负值，说明力的指向或力偶的转向与受力图中的假设相反。若用它代入另一方程求解其他未知量时，应连同其负号一起代入。

（三）例题

【 例 4—1—l】  图4—1—12a所示为一三铰刚架，其顶部受沿水平方向均匀分布的铅垂荷载的作用，荷载集度为q=8kn／m。已知：l=12m；h=6m；a=2m，求支座a、b的约束力。刚架自重不计。

【解】 以整体为研究对象，受力图如图4—1—12b所示。

列平衡方程（y_b的力矩，逆时针方向，记为正；平行分布的线载荷的力矩-负）

取bc部分为研究对象，受力图如图4—1—12c所示。列平衡方程为

负号表示xb的指向与图中假设相反。

    再以整体为对象，列平衡方程

以上每一个解答（提问）都可以作为一个选择题目来考。

 

【例4—1—2】  物重q=12kn，由三杆ab、bc和ce所组成的构架及滑轮e支持，如图4—1—13a所示。已知：ad=db=2m，cd=de=1.5m。不计杆及滑轮的重量，求支座a和b的约束反力以及bc杆的内力。

【解】  以整体为对象，其受力图如图4-1-13b所示。

设滑轮半径为r，(其中对于平衡的定轴e而言： t=q)

求s，选择d为转轴,:

（m_d(x_d)= m_d(y_d)= m_d (x_a)=0, m_d(scosa)=0, 不要考虑）, 列力矩平衡方程

2 ssina+2n_b-2y_a=0, s=15kn.

 

解析：（c）

平行力系的平衡方程。

分别列ma=0，mb=0的力矩平衡方程。

m_a：-qa*a/2+qa*3a/2+f_b*2a=0， f_b=-qa/2.

m_b:-qa*a/2+ qa*3a/2+f_a*2a=0, f_a=qa/2.

（四）平面桁架  （考点）

（房屋建筑，起重机，电视塔，油田井架或者桥梁都用）

1．定义

由若干直杆在两端用铰链彼此连接而成的几何形状不变的结构称为桁架。

杆件与杆件的连接点称为节点。

所有杆件的轴线在同一平面内的桁架称平面桁架，否则称为空间桁架。

2．对于桁架的分析计算作如下假设：

(1)各杆件都用光滑铰链连接。

(2)所有荷载在桁架平面内，都作用在节点上。

(3) 各杆件的自重或略去不计，若考虑自重时，将其平均分配到杆件两端的节点上。

其中桁架中各杆件都是二力杆，只受到轴向力作用，受拉或者受压。

3．平面桁架内力的计算方法

分析桁架的目的就在于确定各杆件的内力，通常有两种计算内力的方法，如表4—1—7所述。

        表4-1-7平面桁架内力计算方法

 

当需要计算桁架中全部杆件的内力时，可采用节点法；若仅计算桁架中某几根杆件的内力，一般以截面法较为方便，但有时也可综合应用节点法和截面法。在计算中，习惯将各杆件的内力假设成拉力。若所得结果为正值，说明杆件是拉杆，反之则为压杆。

为简化计算，一般先要判别桁架中的零杆(内力为零的杆件)，对于图4—1—20所示的三种情况，零杆可以直接判断出来。（节点法直接判断）

（五）例题

【例4—1—4】  求桁架(图4—1—2la)中杆ac、cd、de和eg的内力。

首先观察分析零杆(节点法)。由图4—1—2la可知，杆he、fc和fg为零杆。

 

其次用截面法求ge、cd、ca杆的内力。

作截面如图4—1—2la所示。取上半部为研究对象，画受力图如图4—1—2lb所示。

平衡方程

分解力s_ge.

再次，用节点法求de杆的内力。取节点f为研究对象，其受力图如图4 －1—21c所示。有

 

 

注：共点力——点，选作转轴，可以先忽略力的大小；利于分析问题。如c点的选择。

七、滑动摩擦

当两个相互接触的物体有相对滑动或有相对滑动趋势时，彼此间存在着阻碍滑动的作用，这种作用称为滑动摩擦力。

（一）静滑动摩擦力(简称静摩擦力)

如下图4-1-23，用比较小的力推物体，并不动，说明受到一个与推力相反的约束力，这个力叫静摩擦力。大小由平衡条件确定。大小在一定的范围内变化0≤f≤f_m。

最大静摩擦力fm的大小由静摩擦定律决定，即

f_m=f’n

式中  f’为静摩擦系数，n为接触处的法向反力的大小。最大静摩擦力fm存在于物体处于将动未动的临界状态。

（二）动滑动摩擦力(简称动摩擦力)

动摩擦力f’是相互接触的两物体间，具有相对滑动时的摩擦力。它的方向与物体相对滑动方向相反，大小由动摩擦定律决定，即

f’=f’*n

 f'为动摩擦系数。一般情况下，系数f’略小于系数f。没有特别情况，有时可认为相等。

（三）摩擦角与自锁现象

1. 全反力：

当存在摩擦时，支承面对平衡物体的约束力包括法向约束力n和静摩擦力f，这两力的合力r称为支承面对物体作用的全约束反力，简称全反力，如图4—1—23a所示。

2. 摩擦角

当物体受最大静摩擦力时，全约束力（全反力）与支承面法线间的夹角φ_m(图4—1—23b)。由图4－1—23b可知

（切向/法向,摩擦当头）

即摩擦角的正切等于静摩擦系数。一般。

3. 自锁（临界平衡）

只须主动力的合力作用线在摩擦角的范围内，物体依靠摩擦总能静止，而与主动力大小无关的现象称为自锁。

θ<φ_m，保持静止；θ>φ_m，开始滑动。θ=φm (图4—1—24c)时物体处临界平衡状态

（四）考虑滑动摩擦时物体的平衡问题

考虑摩擦，物体多了约束反力。仍然按平衡条件求解。不同处：

1．摩擦力的大小判断：f≤fm，物体平衡；否则滑动。

2，临界值fm，且满足fm=fn的关系式。

3．摩擦力范围

o≤f≤fm。为避免解不等式，假设物体处于临界状态。

4．摩擦力的方向的判断

总是与物体的相对滑动或相对滑动的趋势方向相反。无法判断方向，可以假定。当物体到达临界状态时，其指向确定，与相对滑动趋势的方向相反。

（五）例题

例：2009年50题

该题全面考核了滑动摩擦力（临界的最大静摩擦力是静止和滑动的分界线）