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第二节 运动学

点的运动方程，轨迹，速度，加速度，切向加速度和法向加速度

刚体：平动和绕定轴转动，角速度，角加速度 ，刚体内任一点的

速度和加速度

运动学只研究运动的几何性质，包括物体在空间的位置随时间变化的规律、物体的运动轨迹、速度和加速度等。

在研究某一物体运动时，必须选择一个参考体。如不加特别说明，地球参考系。

所谓点是指不计大小和质量的几何点。而刚体是由无数个点组成的不变形的物体。

一、点的运动

点的运动是研究点相对于某一选定参考系的运动规律，包括点的运动方程、轨迹、速度和加速度等。

坐标；描述点的运动有矢量法、直角坐标法和自然法等。

点的运动轨迹已知时，采用自然法；点的运动轨迹未知时，采用直角坐标法。

（一）点的运动的矢量法

设动点m在空间作曲线运动，任选某固定点o为参考点(图4—2—1)，由定点o向动点m引一矢径r，则动点的运动方程、速度和加速度为

（二）点的运动的直角坐标法

过定点o建立一直角坐标系oxyz。设动点m在瞬时t的坐标为x、y、z，其矢径为r(图4—2—1)，则以直角坐标表示的动点的运动方程、速度和加速度如表4—2—1所示。

表中的运动方程实际上就是以t为参数的轨迹参数方程。如果从这些方程中消去t，则关于平面上xy（或者yz）关系的方程即为动点的轨迹方程，即

此两方程分别表示两个柱形曲面，它们的交线就是动点的轨迹。（坐标间位置）

若点作平面曲线运动时，取其轨迹所在平面为oxy，则恒有z=0；

相应地，若点作直线运动时，取其轨迹为x轴，则恒有y=z=0。

因此表4—2—1所列公式完全适用于这两种点的运动。

（三）点的运动的自然法

在动点运动的轨迹上任取一定点o’作为原点，并规定量取弧长s的正方向(图4—2—1)，将此弧长的代数值称为弧坐标。同时在动点m处引入自然轴系，这样，以自然法表示的动点的运动方程、速度和加速度如表4—2—2所示。

表4—2—2中公式表明，动点的速度方向是沿着动点轨迹的切线方向。若ds／dt>0，则速度指向切线的正向；反之，速度指向切线的负向。动点的加速度a处于τ和n组成的密切面内。其中，法向加速度an表明速度方向随时间的变化率，其方向沿着动点的主法线，且指向轨迹曲线的曲率中心。切向加速度aτ表明速度的大小随时间的变化率，其方向沿着动点在轨迹上的切线方向。若dv／dt>0，则aτ指向τ的正向；若dv／dt<0，则指向τ的负向。

注：

1）弧长s是标量，但是有正负。一般规定运动的方向为正，相反为负。

2）自然坐标是三维的，但是描述运动的量仅在二维内。如加速度，包括了运动切向方向的加速度和法向方向的加速度。对应关系见表4-2-2.

3）由加速度的方向不能直接判断运动是加速还是减速运动，与质点运动的初速度有关。当aτ与v同号时，动点作加速曲线运动；反之为减速曲线运动。

（四）匀速和匀变速曲线运动

速度v=常量的曲线运动，称为匀速曲线运动；切向加速度aτ=常量的曲线运动，称为匀变速曲线运动。

设t=0时，动点的初速度和初弧坐标分别为vo和so，则s、v、aτ、an和t等各运动量之间的关系式如表4—2—3所示。

当动点沿f轴作匀速直线运动或匀变速直线运动时，表4—2—3所示的关系式仍可适用，只需在这些式中分别用a、xo、x代替aτ、s₀、s。显然，对直线运动而言，动点的曲率半径ρ＝无穷大，故恒有an＝0。

可以直接对比直线的运动——匀速直线运动和匀变速直线运动——的公式记忆，不同的是位移的区分：线位移和弧位移。

（五）点的运动学问题的常见类型

1．已知点的运动方程求点的速度、加速度和轨迹等。

这类问题的关键是如何正确建立点的运动方程。为此，首先要选择适当的坐标系，并把动点置于一般位置。为了避免符号上的差错，一般将动点放在直角坐标的第一象限或弧坐标的正向。其次，根据约束的几何条件(包括不变的绳长、机构装配的几何关系等)，并运用几何学的知识建立动点的运动方程。最后，对动点的运动方程作求导运算，即可得点的速度、加速度，并利用有关公式可解得曲率半径和其他未知量。

2．已知动点的加速度求动点的速度和运动方程等。

这类问题的基本运算方法是积分，其积分常数由运动的初始条件(即t=t0时，动点的位置和速度)确定。

为便于进行定积分运算，有时要适当地进行变量置换。即把a用适当的导数形式来表示，使微分方程仅包含两个变量，并可分别分离在微分方程等式的两边，逐次积分，即可得动点的速度和运动方程。现以动点沿i轴的直线运动为例，将加速度方程的变量分离方法列于表4—2—4中。

由表4—2—4可知，将速度写成=dx/dt，并代人速度方程，再积分一次就可得到相应的运动方程x=f(t)。

3．各种描述方法相结合的综合问题。对于这类问题，要求能灵活而熟练地运用各种描述方法所给出的关系式。如已知直角坐标法描述的点的运动方程(包括轨迹方程)，求点沿轨迹的运动方程、切向加速度、法向加速度和曲率半径p等。

现以点的平面曲线运动为例，图示这一问题的求解途径(图4－2—2)。图中虚、实线分别图示了某些物理量的两种求解方法。

在实际问题中，点的运动学问题的类型颇多，读者应根据具体情况灵活应用上述各表所示的各种关系式进行解算。

(六)例题

（2010年真题）1.已知致电沿着半径为40cm的圆周运动，其运动规律为：s=20t（s以cm计，t以s计），若t=1s，则点的速度与加速度的大小为：

(a)20cm/s；10√2cm/s²

(b) 20cm/s；10cm/s²

(d)40cm/s；10cm/s²

（2010年真题）2.已知动点的运动方程为x=2t，y=t²-t，则其轨迹方程为：

(a)y= t²-t

(b) x=2t

(c)x²-2x-4y=0

(d) x²+2x+4y=0

二、刚体的基本运动

刚体的基本运动包括刚体的平行移动(简称移动或平动)和定轴转动，它主要研究刚体的运动规律和刚体的运动与其体上各点运动之间的关系。

（一）刚体的平动

在刚体运动过程中，其上任一直线始终与它原来的位置保持平行，称这种运动为刚体的平动，如果体内各点的轨迹是直线，则称为直线平动；如果体内各点的轨迹是曲线，则称为曲线平动。

刚体作平动时，体内各点的轨迹形状相同，在每一瞬时，各点具有相同的速度和加速度。因此，整个刚体的运动，完全可由体内任一点的运动来确定。

（二）刚体的定轴转动

刚体运动时，体内(或其延展部分)有一直线始终保持不动，称这种运动为刚体的定轴转动。保持不动的那条直线称为转轴或转动轴。表4—2—5列出了转动刚体的运动学公式。

表中，角φ称为刚体的转角，单位为rad(弧度)。转角φ和角速度ω均是一个代数量，可根据右手法则确定其正负号(图4—2—6a)。角速度ω的大小表示了转动的快慢，其正负号表明了刚体转动的转向。角速度的单位为rad/s(弧度／秒)。

刚体可以看做质点系，绕定轴转动时，各质点在垂直于转轴的平面内做半径不同的圆周运动。可以用自然坐标系的弧长表示位移。对于圆周而言，弧长s=rφ，所以我们在此引入角量描述刚体。φ是转角，叫角位移，dφ/dt为角速度，d²φ/dt²为角加速度。

工程上常用转速n来表示转动快慢，其单位为rpm或r／min(转／分)。角速度与转速的关系为

角加速度ε也是代数量，其正向与转角φ的正向一致。代数量的正负号表示了ε的转向。显然，当ε与ω同号时，刚体作加速转动；当ε与ω异号时，刚体作减速转动。角加速度的单位为rad／s²(弧度/秒²)。

应当指出，角速度和角加速度可以用沿着转轴的一个滑动矢量来表示，角速度矢ω和角加速度矢ε的指向，可根据它们代数量的正负号按右手法则确定(图4—2—6a)。

（三）转动刚体上各点的速度和加速度

转动刚体与其体上任一点m的运动学关系如表4—2—6所示。

表中，α为加速度矢a与转动半径om之间的夹角(图4—2—6b)。由表中各式可知，在每一瞬时，转动刚体内任一点的速度和加速度的大小都与转动半径r成正比，且各点的加速度与转动半径成相同的夹角。

（四）刚体基本运动的问题类型

1．研究平动刚体的运动规律。

因平动刚体的运动学问题可归结为点的运动学问题来研究，故一般取传递运动的接触点或连接点作为分析对象。应当注意，刚体作曲线平动时，各点有各自的曲率中心和自然轴系，这一点在图示平动刚体各点的运动元素时，要多加注意。

2．研究转动刚体及其体上一点的运动规律。

(1)求ω和ε或转动刚体上某一点的v和a。

这类问题，若已知转动方程，则可通过求导得到相应的ω和ε，从而求出刚体上某点的v和a；或已知转动刚体上某点的运动方程，用上述类似方法可求得体上其他点的v和a及刚体的ω和ε。

(2)求转动方程或刚体上一点的运动方程。

这类问题一般可通过对已知的ε方程或体上一点的a方程，进行积分运算得以解决。但尚须已知运动的初始条件，即t=0时，转角φ。和角速度ω。或弧坐标s。和初速度v。

历年题：

（2010年真题）直角刚杆oab在图示瞬时角速度w =2rad/s，角加速度ε=5rad/s²，若oa=40cm，ab=30cm，则b点速度的大小、法向加速度的大小和切向加速度的大小为：

(a )100cm/s；200cm/s²；250cm/s²；

(b )80cm/s；160cm/s²；200cm/s²；

(c)60cm/s；120cm/s²；150cm/s²；

(d)100cm/s；200cm/s²；200cm/s²；

选（a）

考核：刚体定轴转动时刚体上任一点的速度和加速度（切向加速度和法向加速度）