点的合成运动和刚体的平面运动

三、点的合成运动

这部分内容，主要是应用运动的合成与分解的概念，研究同一动点相对于两个不同参考系的运动之间的关系，即在不同的参考系中看同一动点的运动，他们之间的关系。从而建立了点的速度合成定理和加速度合成定理。

 

（一）静系·动系

固结在某一参考体上的坐标系oxyz称为静坐标系，简称静系。

我们常说的是惯性参考系是地球，所以地球表面上的坐标系作为静系。

固结于相对静系运动的参考体上的坐标系o’x’y’z’称为动坐标系，简称动系。

 

（二）三种运动·三种速度·三种加速度

我们常说质点的运动都是相对于惯性参考系——静系——的运动。

 

动点相对于静系的运动称为绝对运动。即相对于惯性参考系的运动。对应绝对速度和绝对加速度。

 

动点相对于动系中的轨迹、速度和加速度称为动点的相对轨迹、相对速度和相对加速度，并以v_a和a_a分别表示此速度和加速度。

 

两个坐标系、动系相对静系的运动称为牵连运动。

在某一瞬时，动系上与动点相重合的一点称为动点在此瞬时的牵连点。牵连点的速度和加速度称为动点在该瞬时的牵连速度和牵连加速度，并分别以v_r和a_r表示之。

 

上述三种运动的关系如图4—2—8所示。即动点的绝对运动可视为相对运动与牵连运动的合成运动。反之，动点的绝对运动也可分解为牵连运动和相对运动。

（三）点的速度合成定理

可以证明，动点的三种速度v_a，v_e，v_r之间有如下关系式：

v_a=v_e+v_r

即动点的绝对速度等于它的牵连速度和相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。根据此定理可知v_a，v_e，v_r构成一速度平行四边形，其对角线为绝对速度va。

 

由于每个速度矢量包含大小和方向二个量，因此上式总共含有六个量，当已知其中任意四个量时，便可求出其余两个未知量。

应当指出，由于存在相对运动，所以不同瞬时，动系上与动点相重合的那一点即牵连点，在动系上的位置也随之而变化的。

 

（四）点的加速度合成定理

动点的加速度合成与牵连运动的性质有关，当牵连运动为平动或转动时，动点的加速度合成定理如下：

 

牵连运动为平动：

a_a=a_e+a_r

牵连运动为转动：

a_a=a_e+a_r+a_k

式中a_k称为科氏加速度。它是由于牵连运动与相对运动相互影响而产生的。a_k的矢量表达式为

a_k=2ω×v_r

其中ω为动系的角速度矢。设ω与v_r间的夹角为θ (图4—2—9)，则a_k的大小为

a_k=2ωv_rsinθ

a_k的指向由ω与v_r的矢积确定。

 

对于平面机构，因a_a、a_e、a_r和a_k等各加速度矢都位于同一平面中，所以运用加速度合成定理只能求解大小或方向共两个未知量。由于a_a或a_e或a_r都可能存在切向与法向两个加速度分量，因此在求解中，常应用合矢量投影定理进行具体计算。

（五）应用速度或加速度合成定理解题的一般步骤和方法

1．分析机构的运动情况，根据题意适当地选取动点、动系和静系。

在一般机构中，通常可选取传递运动的接触点为动点，与其邻接的刚体为动系。

 

2．分析绝对运动、相对运动和牵连运动。

绝对运动和相对运动都是指动点的运动。分别指在静系和动系坐标上看到的动点的运动。而牵连运动是指动系的运动，也就是固结着动系的刚体相对静系的绝对运动。

 

3．分析动点的各种速度或加速度，图示速度或加速度矢量图。

动点的v_a、a_a和v_r、a_r一般可以根据其绝对运动和相对运动进行分析。

 

4．根据速度和加速度合成定理求解。

(1)运用a_e=v_e+v_r，求解未知量时，一般可应用几何法，画矢量图解。

(2)应用加速度合成定理时，首先要区分牵连运动是平动还是转动，然后列出相应的矢量式，即

a_a=a_e+a_r，或a_a=a_e+a_r+a_k，所以，通常应用合矢量投影定理进行具体计算。

（六）例题

[例1]  曲柄oa长为r，以匀角速度ω绕轴o逆时针向转动，从而通过曲柄的a端推动滑杆bc沿铅直方向上升，如图4—2—10所示。求当θ=60⁰时，滑杆bc的速度和加速度。

[解]  ：关键找牵连点

a相对地面做绕o的转动

同时在bc这个动坐标系上

a点是牵连点

 

1. 选取静系和动系：取oa上的a点为动点，滑杆bc为动系。

2. 确定三种运动

动点a的绝对运动是圆周运动；

相对运动是水平直线运动；

牵连运动是滑杆bc的平动。

3. 矢量三种运动的关系

动点a的速度和加速度矢量图如图4—2—10所示。

a的绝对运动是匀速圆周运动，所以加速度只有向心加速度，也就是他的实际的加速度（合加速度）；

相对运动是直线运动，所以加速度沿水平方向；

牵连运动是竖直方向的平动，加速度方向沿竖直方向；

 

由图4—2—10所示的速度和加速度平行四边形，得滑杆bc的速度v和加速度a的大小为

方向如图示。

   

解题的关键是选择牵连点。如果本题取滑杆上的a₁点为动点，oa杆为动系。则a₁点的相对轨迹显然不是一条水平直线。

我们可以这样思考，设杆oa不转动，仅bc杆运动，则a₁点相对杆oa作铅垂直线运动；反之，若杆bc不动，仅oa杆转动，则a₁要相对杆oa作顺时针向的圆周运动。圆周运动成为牵连运动。

实际上，杆oa与bc同时在运动，故a_l点相对杆oa的相对运动应是铅垂直线运动和圆周运动的合成运动。那么在加速度计算中，除多一项ak外，还因相对轨迹未知，造成了arn的计算困难。

合适选取牵连点。

[例2]  图示平面机构中，杆ab以匀速u沿水平方向运动，并通过滑块b推动杆oc转动。试求α=60⁰时，滑块b相对杆oc的加速度和杆oc的角加速度。

 

[解] 

这也是一个典型的合成运动题。在此直接选定b为牵连点。

 

1. 选择牵连点，选择静系和动系： 取滑块b为动点，杆oc为动系。

2. 确定三种运动：

动点的绝对运动是水平直线运动；

相对运动是沿杆oc的直线运动；

牵连运动是杆oc绕轴o的转动。

3. 运动的矢量分析

动点b的速度分析如图4-2-11所示。由图示的几何关系，得

因ob=b／sina，则α=60⁰时，杆oc的角速度为

转向顺着ve的指向，如图4—2—11所示。

本体中的牵连运动为圆周运动。

根据牵连运动为转动时点的加速度合成定理，可作出动点b的加速度矢量图如图4—2—12所示。

 

因a_a=0，a_a=a_e+a_r+a_k

故得

式中

将上述矢量式分别向x轴和y轴投影，得

由此可解得杆oc的角加速度ε和a_r分别为

应当注意，图中标示的ε转向要与aeτ的指向保持一致，故ε得负值，表示与图示的ε转向相反，即为逆时针转向。

 

若将角α视为变量，求v_r和ω对时间的一阶导数，则亦可解得a_r和ε，即

因ω的转向与α正向相反，故有dα／dt=－ω，将此关系式和α=60⁰代入以上二式，则得

这里a_r取正值，表示与v_r方向一致；

ε取负值，表示与ω转向相反。此结果与上述结果相同。

 

注意，关系式a_eτ=dv_e/dt是不成立的。因v_e=usinα是反映了不同瞬时的牵连点的速度与角α的函数关系，并不表示图示瞬时牵连点的速度的函数关系，故dv_e／dt不是图示瞬时牵连点的切向加速度。但当牵连运动是平动时，a_eτ=dv_e/dt是成立的。其理由请读者自行思考。

四、刚体的平面运动

应用合成运动的概念，将刚体的平面运动分解为平动和转动，并据此来研究平面运动刚体的角速度、角加速度及其刚体上任一点的速度和加速度。

（一）刚体的平面运动方程

1．平面运动的特点

在运动过程中，刚体上任一点离某固定平面的距离始终保持不变，称这种运动为刚体的平面运动。

刚体的平面运动可以简化为一平面图形在其自身平面内的运动。

2．运动方程

设平面图形s在固定平面oxy内运动(图4－2—15)，显然，图形s的位置完全由其上任一线段o’m的位置所确定。这就是说，图形s在任一瞬时的位置可用任一点o’的坐标xo’、yo’及o’m与x轴正向间的夹角φ来表示。即刚体的平面运动方程可写为

通常，将o’点称为基点。

（二）平面运动分解为平动和转动

 

若取oxy为静系，平面图形上任一点o’为基点，并在o’点上固结一随其作平动的动系o’x’y’(图4—2—15)。则图形s的相对运动为绕基点o’的转动；图形的绝对运动就是平面运动；而牵连运动为动系随基点o’的平动。由此可见，平面图形s的运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动。为了方便，在下面叙述中，一般将不再图示动系和静系。

应当注意，平面运动随同基点的平动规律与基点的选择有关，而绕基点的转动规律与基点的选择无关。因此，在论及角速度和角加速度时，无需指明它们是对哪个基点而言的，并可统称为图形的角速度和角加速度。又因动系作平动，故在动系中观察到图形的角速度与角加速度就是图形相对静系的绝对角速度和绝对角加速度。

 

 

（三）平面图形内各点的速度

平面图形内各点的速度有三种求解方法，如表4—2—7所示。通常，瞬心法和投影法应用较多。

表中，关系式称为速度投影定理，该定理对任何运动形式的刚体都是适用的。由于它是一个代数方程，故根据此定理可求出式中一个未知量。

由瞬心法所表述的关系式可知，当以速度瞬心c为基点时，平面图形上各点的速度分布规律与刚体绕定轴转动时一样。因此，平面图形在任一瞬时的运动可以看成绕速度瞬心c的瞬时转动。于是，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心，图形上任—点m与c点的连线，称为瞬时转动半径。显然，在不同瞬时，平面图形具有不问的速度瞬心。

瞬心法的关键是确定平面图形在每一瞬时的瞬心位置，表4—2—8给出了按巳知运动条件，确定平面图形速度瞬心c的几种方法.

表 4-2-8

 

 

应该注意，刚体作瞬时平动时，其各点的速度相等，角速度为零。但此瞬时，刚体各点的加速度并不相同，且角加速度亦不为零。

（四）平面图形内各点的加速度

由牵连运动为平动时的点的加速度合成定理，可得平画图形上任一点m的加速度关系式为

称此为加速度合成法或基点法。式中a_o’为基点o’的加速度；相对切向加速度大小，方位垂直o’m，指向顺着角加速度ε的转向；相对法向加速度大小，方位沿着o’m连线，并总是指向基点o’。

上式是一个平面矢量等式，故可用以求解式中两个未知量。

 

（五）平面运动分析的内容和方法

研究平面运动刚体的运动，主要是分析刚体的角速度ω、角加速度ε及其体上一点的速度v、加速度a。由于在实际机构中，平面运动刚体通常与平动刚体、定轴转动刚体等组成平面机构，因而平面运动刚体的运动分析问题，常常包含在平面机构的运动分析之中。这就是说刚体所涉及到的运动学问题，通常是综合性问题，需要灵活应用运动学知识加以分析。下面结合平面机构运动分析，着重将平面运动刚体的运动分析的内容和步骤归纳如下。

1．根据机构的约束条件，判断各刚体的运动类型，即哪些刚体作平动，哪些刚体作定轴转动或平面运动，或纯滚动。

同时，弄清相邻两刚体的连接情况，相邻两刚体是通过连接点(如铰接点)还是接触点(如凸轮与挺杆的接触点)进行运动传递的?若是接触点，相接触的两点之间是否有相对运动?在运动过程中，接触点是否有变化?等等。

2．明确求解思路。

一般，从已知运动的刚体着手，通过连接点或接触点的运动分析，求解指定刚体或点的运动。

一般来说，连接点的运动，可用刚体运动知识进行分析；

接触点的运动可用点的合成运动概念进行分析。

但应当注意，当牵连运动为刚体的平面运动时，应有科氏加速度存在。此外，有时运用点的运动学知识直接求解更为方便。

3．平面图形的角速度及其刚体上任一点的速度分析。

通常，点的速度求解，可应用速度投影定理或速度瞬心法，或两者综合应用；

图形的角速度求解，可用速度瞬心法。

但当给出的题意条件不能选用此两种方法求解未知量时，则可选用速度合成法。

 

在求解过程中，应注意下面几点。

    (1)根据选用的求解方法，图示必要的运动元素及几何关系。

    (2)在应用速度合成法时，点的绝对速度必须是速度平行四边形的对角线；

在应用速度投影定理时，所选的两点必须在同一平面图形上；

在应用速度瞬心法时，要正确地找出图形的速度瞬心位置，且图形的瞬心位置将随时间而改变。

 (3)刚体的平动和平面图形的瞬时平动两者不可混淆。

平动刚体的角速度和角加速度均为零，其体上各点的速度和加速度均相等；

而瞬时平动是指某瞬时，该平面图形的角速度等于零，但角加速度不等于零；其体内各点的速度相等，但各点的加速度不等。

 

4．平面图形的角加速度及其体上任一点的加速度分析。运用加速度合成法求解时，应考虑如下几方面问题。

(1)在作加速度分析以前，为了便于解得各法向加速度，一般先作速度分析，求出图形的角速度及其体上相应点的速度。

    (2)选已知点作为基点，根据加速度合成法列出所求点的加速度矢量式，并据此在该点处图示各项加速度矢量。这里，应提请注意，由于速度瞬心的加速度并不等于零。因此，在图示加速度时，切不可将速度瞬心误作为加速度瞬心处理。

(3)用加速度合成法建立的加速度矢量等式是一个平面矢量等式，故据此等式只能求解两个未知量，且通常是选用合矢量投影定理进行具体计算。

(4)半径为r、圆心为o的圆轮，沿固定面作纯滚时，其与固定面的接触点c的速度和加速度为v_c=0和a_c≠0，且有关系式ω₀=v₀/r和ε₀=。

（六）例题

[例3 在图4—2—16所示曲柄连杆机构中，曲柄oa以角速度ω和角加速度ε绕o轴转动,并通过连杆带动滑块b在圆形槽内滑动。如oa=r,ab=2r,且图示瞬时，α=30º，φ=60°，求在该瞬时，滑块b的切向和法向加速度。

[解]  杆ab作平面运动，

 

v_a,v_b互相不垂直：参见两个速度互相不垂直，求速度瞬心的方法：做垂直于两者速度方向的直线，他们的交点就是速度瞬心。

 

得到其图示位置的速度瞬心为点c，故由速度瞬心法得b点的速度大小

（或者用投影法自己求解，a，b速度在ab上的投影相等）

方向如图。杆ab的角速度大小为

转向为逆时针向。

以上可以作为一个选择题

 

于是，b点的法向加速度大小为

（a_n=v²/r, r是圆周半径，是cb的一半，或者叫曲率半径）

方向如图。

 

为求，现根据加速度合成法列出a_b的表达式

将上式投影到x轴上，得

式中（以a为基点，b相对于a定轴转动）

代入上式，并经整理后得b点的切向加速度大小为

若(2ε—)>o，则图示的指向是正确的，否则反之。

注意，b点绕o1点作圆周运动的角速度ωl和角加速度ε1与杆ab的ωab和εab是不同的。

[例4]  图示机构由曲柄连杆机构使齿条i作往复直线运动。曲柄oa绕轴o顺时针向转动，其转速为n=60r／min，oa=10cm，ab=20cm齿轮o₁、o₂上下均与齿条啮合。求当φ=90°时，齿条i的速度和加速度。

      [解]  图示为一多构件组成的平面机构。由题意知，曲柄oa以匀角速度

绕o轴转动；

杆o₁o₂和齿条i均作平动；

齿轮o₁、o₂和连杆ab均作平面运动。

在图示位置，杆ab作瞬时平动，齿条i的运动可取与齿轮啮合的一点m代之。

 

在具体解算时，一般可依照运动传递的顺序，从已知构件即曲柄的运动着手，通过连接点a、b和o₂的运动分析，求得齿条上m点的速度和加速度。

a——b——o₂——m

 

a的运动

因曲柄oa作匀速转动，所以有

（这是因为a匀速转动，只有法向加速度）

b的运动

b的速度？

由于图示位置杆ab作瞬时平动，故该瞬时杆ab的角速度

b点的速度大小为

方向与v_a相同。

求b点的加速度？

b点的加速度a_b（以a为基点），由加速度合成法得

（b相对于a做定轴转动）

将上式投影到x轴上，并注意到

故有

即

方向如图4—2—17所示。

 

求o₂点的速度和加速度？

由此可算得平动杆件为o₁o₂上一点o₂的速度、加速度为

 

求m点的速度和加速度？

接触点为速度瞬心。

因轮o₂与上下两齿条均无相对滑动，故c₂为轮o₂的速度瞬心，并由速度瞬心法求得m点的速度为

方向如图。

显然，在运动过程中，关系式v_m=2v_b始终成立。因此，将此式对时间求一阶导数，即可得m点的加速度为

方向如图。

    上述，v_m和a_m即为齿条i的速度和加速度。