第三节        动力学

动力学研究力和运动间的关系。

知识点：

1. 动力学基本定律：牛顿定律

2. 动力学普遍定理；

动量；质心；动量定理及质心运动定理；动量及质心运动守恒；动量矩；动量矩定理；动量矩守恒；功；动能；势能；动能定理及机械能守恒；

3. 刚体定轴转动微分方程；转动惯量；回转半径；平行轴定理；

4. 刚体作平动和绕定轴转动（转轴垂直于刚体的对称面）时惯性力系的简化；

5. 达朗伯原理与动静法（动力学问题等效用静力学的方法处理）

6. 质点的直线振动：

自由振动微分方程；固有频率；周期；振幅；衰减振动；阻尼对自由振动振幅的影响——振幅衰减曲线；受迫振动；受迫振动频率；幅频特性（共振）

一、动力学基本定律和质点运动微分方程

（一）动力学基本定律(牛顿三大定律)

1．第一定律——惯性定律

惯性定律的内涵揭示了以下四点：

1）惯性：物体不受力的作用，则将保持静止或匀速直线运动状态。物体属性。同时规定了参考系——惯性参考系。

2）惯性量度：质量。质量越大，惯性越大。

3）质量的测定：质量与状态没有任何关系。所以可以通过某地的重力及加速度求得：m=g/g

4）力：力是物体间的相互作用。（有力，物体状态改变，就有加速度。）

2．第二定律——力与加速度的关系定律

质点受一力f作用时所获得的加速度a的大小与力f的大小成正比，而与质点的质量成反比；加速度的方向与作用力方向相同，即

ma=f      (4-3-1)

如果质点同时受几个力的作用，则上式中的f应理解为这些力的合力,而a应理解为这些力共同作用下的质点的加速度，这样式(4—3—1)可写为

ma=σfi         (4-3-2)

1）对质点适合

2) 合力与加速度瞬时对应，（先有力后有加速度）加速度随着合力的变化而变化（大小和方向）

式(4—3—1)或式4—3—2)称为质点动力学基本方程。

 

上述描述的是一个质点的情况，第三描述两个质点之间的相互作用。

 

3．第三定律——作用与反作用定律

两质点相互作用的力总是大小相等，方向相反，沿同一直线，并分别作用在两质点上。

作用力和反作用力同存亡。（一个消失，另一个消失；一个出现，另一个也出现）

（二）运动微分方程

根据质点动力学基本方程ma=f,可推导出的运动微分方程

其中a是运动学量，所以对a进行变化,可以得到v，r，得到运动微分方程。

1）.矢量形式

2）.直角坐标形式

3）.自然轴形式

要合理利用牛顿运动：：：：

必须注意:

l         这些方程只适用于惯性坐标系（牛一规定的），物体运动速度远小于光速。其中各项加速度必须是绝对加速度（惯性参考系，如地球）；采用自然轴投影形式的运动微分方程必须已知运动轨迹。

l         直角坐标投影形式和自然轴投影形式的运动微分方程是两种常用的投影形式。根据问题的需要，还可以有其他投影形式的运动微分方程。

l         质点的运动微分方程可用来解决质点动力学二类基本问题。

(1)已知质点的运动，求作用在质点上的力。

(2)已知作用于质点上的力，求质点的运动。

两种问题的解决化为关于求导问题和积分问题的运算。

 

可能有人会说，近代相对论力学先进，为什么还学习这些经典力学？

由于一般工程问题中，大多问题都属于上述的适用范围，因此以基本定律为基础的古典力学在近代工程技术中仍占有很重要的地位。日常生活中的现象都遵循牛顿运动定律。

（三）例题

[例4—3—1］ 图4—3—1所示半径为r的偏心轮绕o轴以匀角速度转动，推动导板ab沿铅垂轨道运动。已知偏心距oc＝e，开始时oc沿水平线。若在导板顶部放有一质量为m的物块m，求：(1)物块对导板的最大反力及此时偏心c的位置；(2)使物块不离开导板的ω的最大值。

直线运动；动力学微分方程；第一类问题

    一看本体属于第一类问题：已知运动求受力，会用到导数计算。

[解]  本题根据题意可列出物块的运动方程，运用导数的运算可求物块的加速度。于是应用质点的运动微分方程，可求出导板对物块的反力。

 

属于第一类问题。

       (1)对象：取物块m为研究对象。

      (2)受力分析：选任一瞬时t进行分析，作用于物块上的力有重力p和导板对物块的作用力n，受力图如图4—3—1(b)所示。

(3)运动分析：物块沿铅垂线运动。

      (4)选坐标：由于物块沿铅垂线运动，将坐标原点取在固定点o上，并取x轴铅垂向上为正。

      (5)建立运动微分方程并解。

应用直角坐标形式微分方程：得

物块放在导板上，导板作平动，故物块的加速度即等于导板的加速度。根据题意可列出导板上d的运动方程为

对该式求二次导，得到物块的加速度

将式(3)代入式(1)，得

可以看到n随着t变化，sinwt

由式(4)可见，当sinωt=-1时，即c点在最低位置，n达到最大值

当sinωt=1时，即c点在最高位置，n达到最小值

欲使物块不离开导板，（离开的临界条件是n=0）则nmin≥0，即

故物块不离开导板ω的最大值为。

本题考点：1）第一类问题的解法。2）直线运动

[例4—3－2]  图4—3—2(a)所示桥式起重机上的小车，吊着重为p=100kn的物体沿水平桥架以速度v₀=lm／s作匀速直线移动。重物的重心到悬挂点的距离为l=5m。当小车突然停车时，重物因惯性而继续运动，此后则绕悬挂点摆动。试求钢丝绳的最大拉力。

其中运动：圆周运动（曲线运动），动力学方程，第二类问题

      [解]  1）取重物为研究对象，并将重物视为质点。

2）确定受力和运动的情况。确定停车前的状态，明确了停车后的初态。

小车停车前：物体匀速直线运动；停车后：以一定初速度做圆周运动。

设小车突然停车后的任意瞬时t，钢丝绳与铅垂线的夹角为φ (铅垂轴x的正向逆时针转向量取为正)。作用在重物上的力有：重力p和钢丝绳的拉力t，受力图如图4-3—2b所示。

3）选择运动坐标和列动力学微分方程：轨迹清楚，选择自然坐标系。取自然轴系的τ、n轴的正向如图示(τ轴指向φ增加的一方，沿运动方向)。由式(4—3—5)可得

τ向：（涉及速度，列如下动力学方程）

   （ma=f_τ）

n向：

显然，（v, φ，t三个未知数。）如能求出（1）中的v(这是第二类问题)，则代人式(2)即可求得t。

（1）       中v，φ都是未知量，能直接找到两者关系最好

由运动学知dφ/dt=w=v/l,代人(1)可得：（微分变换的应用）

 

或

将初始条件带入积分，得到v。

初始条件：在初瞬时(即小车突然停车的瞬时)，重物的速度为v。，钢丝绳与铅垂线的夹角为零，即t=0时，v=v₀,φ=0；（我们用微分方程时，取任意时刻）

而在任一瞬时t时，重物的速度为v，钢丝绳与铅垂线的夹角为φ。作定积分得

式(3)就是重物的速度变化规律。当φ增大。v随之减小，当φ=0时，v=v₀，v值为最大。

由式(2)得

因为当φ=0时，v具有最大值v。，cosφ=1也为最大值，故此时t具有最大值

将，

代入式(5)，可得

 

练习题：1. 已知物体初始位置如图，剪断其中一根绳子，剪断绳子瞬间，细绳的拉力是（）

abcd

通过以上两个典型例题，对直线运动，曲线运动，运用动力学方程，求解了两类问题。

 

（四）解题注意事项

1，质点动力学基本方程只适用于惯性坐标系，各项加速度必须为绝对加速度。（排除了相对加速度）

2．有限个质点组成的质点系用动力学基本方程求解时，必须对每一个质点建立方程。

3．建立质点运动微分方程时，应将质点置于一般位置分析受力与运动，且此位置处于坐标系的第一象限为妥。同时必须注意力和加速度在坐标轴上的投影的正负号。

 

研究质点运动微分方程之后，将继续学习动力学普遍定理，它包括动量定理(含质心运动定理)、动量矩定理和动能定理。这些定理都是从动力学基本方程推导得来的。它们建立了一些表明运动的度量(动量、动量矩和动能)与表明力的作用效果的量(如冲量、力矩和功)之间的关系。应用这些定理解一些动力学问题是比较方便的。（基础——衍生的定理；解题难易：复杂——简单），解题时能用普遍定理，就不用动力学基本定理

 

从数学上看，这些定理只是在一定条件下运动微分方程另一种形式或它们的积分，但经过数学变换而出现在各定理中的量(动量、动量矩、动能、冲量、功等)都有明确的物理意义，各相关量之间也有简单而确定的关系，这不仅使我们对机械运动的了解更深入，而且能更有效地进行研究。下面依次研究这些定理，重点是质点系有关定理。