二、动量定理

动量定理是在动力学基本方程基础上推到出来的。

动量定理建立了（研究对象）质点或质点系动量的改变与作用在其上的力的冲量之间的关系，由此还可以得动量守恒定律及质心运动定理。

（一）基本概念

质心，动量，冲量

1．质心：（引入质心，可以将（多个物体组成）质点系当做质点分析处理问题, 这符合学习的循序渐进，由已知到未知）

对质量m＝∑mi质点系，若其任一质点对某一固定点的矢径为ri，则由矢径

所确定的一点c称为此质点系的质量中心，简称质心。

1) 在直角坐标系中，质心位置矢量各分量的表达式为：

，，

2) 对于连续分布的物体，质心的计算公式为：（微元的积分）

分量形式为（xyz轴上的积分形式）

，，

2．动量：是物体某瞬时机械运动的一种度量。以k表示。状态量，矢量（方向性）

(1)质点的动量：质点的质量m与其速度v的乘积，其表达式为

k=mv（与速度方向相同，瞬时量）

(2)质点系的动量：各质点动量的矢量和，其方向与质心的速度v_c的方向相同，其表达式为

式中 m_i——质点系中第i个质点的质量；

m＝∑m_i——质点系的质量；

v_i——质点系中第i个质点的速度；

v_c——质点系质心c的速度。

3．冲量：是力在某一段时间间隔内作用效应的度量。以s表示。（过程量，矢量）

(1)常力的冲量：s=ft;（与力的方向相同）

（我们常会遇到） (2)变力的冲量：。（很小时间内，将力看做是恒力）

（二）动量定理、质心运动定理

动量定理与质心运动定理的表达式如下表所示.

动量定理的微分形式——动力学方程的微分形式（本质，宏观低速物体m恒定）

微分形式：动量对时间的一阶倒数是物体受到的合外力（质点系间的内力不起作用）；

积分形式：质点在一段时间（t₁到t₂）动量的改变等于作用在质点的合力在这段时间内的冲量

（这里将状态量动量和过程量ft联系在一起：（计算中可以灵活应用转换思想）过程ft清楚，可以求出过程变化前后两个状态的动量的差；若前后状态清楚或者容易获得，可以求出变力参与的过程量ft，常来解决碰撞问题）

表4—3—1的式中，为作用在质点系上的所有外力的矢量和，即外力系的主矢；

为此外力系在时间(t₂—t₁)内的冲量的矢量和；

k₂和k₁分别为t₁ ，t₂时刻的动量；

a_c和v_c分别为质心的加速度和速度；

脚标x、y、z和τ、n、b分别表示相应物理量在直角坐标轴和自然轴上的投影。

对于多个质点组成的质点系的运动，我们可以通过观察质心的运动把握物体的整体运动（水平上抛三角板；运动员跳水），所以利用动力学基本方程不难求出质心运动定律，

质心运动定律：研究对象是多个质点组成的物体。质心的运动代表了整个物体的运动情况。即对质心应用牛顿第二定律，可以写出质心动力学定律和质心的运动微分方程，可以解决两类动力学问题。

可以看出：

质心运动守恒定律：（即质心不受力或者受力为零）质点系不受外力作用（或者合外力等于零），保持静止或者匀速直线运动。它的矢量形式和直角坐标系中的分量见表4-3-1.

（三）例题

[例4—3—3] 滑块c的质量m=19．6kg，在力p=866n的作用下沿倾角为β=30°的导杆ab运动。已知力p与导杆ab之间的夹角α=45°，滑块与导杆间的动摩擦系数f’=0．2，初瞬时滑块处于静止。试求滑块的速度增大到v=2m／s所需的时间。

[解]

由题可以看出，已经物块受力，和部分运动学量v等，求运动时间。对于这样涉及到时间的动力学问题，我们优先考虑动量定理。而不考虑动力学基本定律。

(1)选研究对象取滑块c为研究对象。

(2)受力分析滑块c上受重力mg、导杆对滑块c的法向反力nc、摩擦力f及拉力p等四个力的作用。

(3)运动分析滑块c只能沿导杆ab作直线运动。选取直角坐标bxy如图4—3—10所示。

(4)应用动量定理的直角坐标形式，设经历t时间，则有

即：

动量是矢量，注意方向在坐标轴上投影的正负。

由式（2），得

从而，（再由摩擦定律可以求出）动摩擦力

代入式(1)，求得滑块的速度从零增到v=2m／s所需的时间

[例4—3—4] （下面是关于质点系的动力学问题）

曲柄oa质量为m₁，长为r，以匀角速度ω绕o轴转动，并带动滑槽连杆以及与连杆固结的活塞b作往复运动。滑槽连杆和活塞的总质量为m₂，作用于活塞上的已知力为q，如果不计摩擦，求作用于曲柄轴o上的最大水平反力。

【解】多个物体的组合，用质心动力学方程求解

力与质心加速度相关，对质心加速度的求解可以通过以下两种方法

1）已经知道各质点的加速度，直接应用质心公式；2）质心位移的二阶倒数

该系统包括两个物体，曲柄oa和滑槽连杆及固结在一起的活塞b，只考虑水平方向的运动。先写出质点系的质心在x方向的坐标公式，再应用质心运动定理求解。

(1)对象取曲柄oa、滑槽及活塞b所组成的系统为研究对象。（质点系，对该质点系进行受力分析。）

(2)受力分析作用于系统的水平方向上外力有曲柄轴o处的水平反力x₀及作用于活塞上的水平力q。

(3)运动分析由于组成质点系的物体为刚体，而且各部分运动显为已知，因此用质心运动定理比较方便。取坐标系oxy如图4—3—11所示，设任意t瞬时，曲柄处于x轴正向，则在水平方向系统的质心坐标为

(4)应用质心运动定理求解

质心求出来，对他求二次导数，得到质心运动的加速度，求出受力。

由质心运动定理可得

则有

将式(1)对时间求两阶导数，并代入式(2)得，

当ωt=π时，x₀达到最大值，为

[例4-3-5] 小车a重q，下悬一摆如图4—3—12所示。摆按规律φ=φ₀sinkt摆动，设摆锤b重为p，摆长为j，摆杆重量及各处摩擦均忽略不计。若运动开始时系统的质心速度等于零，试求小车的运动方程。

[解] 1. 研究对象：以小车和摆锤所组成的质点系为研究对象。（摆杆重量及各处摩擦均忽略不计，他们水平方向不受外力作用），所以系统水平方向质心运动守恒。

2. 受力分析：作用于该质点系上的外力有重力p、q和轨道的铅垂反力n。选取坐标oxy如图所示，y轴通过系统的质心c。

3. 分析运动，选择坐标，列动力学方程。

由于作用于该质点系上的所有外力在x方向上的投影的代数和等于零，因此质点系的质心的运动沿c方向守恒，即v_cx=常量。又因系统原来是静止的，所以v_cx=dx_c/dt=0,xc=常量，那么发生运动后仍然是静止的。因此质点系的质心的水平位置应保持不变，由于y轴通过质心，故x_c=0。当摆锤至任意位置时，质点系质心坐标为

既

由图示坐标关系得

将式(3)代入式(2)得

式(4)即为小车的运动方程。

以上三个例题分别对知识点动量定理，质心运动定理和质心运动守恒的应用进行了详解。大家可以针对性的看看，达到巩固知识的目的。

（四）解题注意事项：

1．由于动量定理与质心运动定理均由牛顿定律导得，故定理中的运动量(速度、加速度等)必须是相对惯性参考系的。

2．受力图中只需画出外力，不图示内力，并根据系统所受的外力来判别系统的动量或质心的运动是否守恒。（质点系的内力远大于外力：碰撞，爆炸时，可以用质点系的动量守恒定律）

3．计算多刚体系统的动量时，可用关系式

式中 v_c为系统质心的速度；vi_c为i刚体的质心速度。具体计算用它的投影式。

4．应用质心运动定理时，可用关系式

求解系统质心的加速度，也可以将质心矢径求两阶导数得到。一般，当多刚体系统的各质心加速度容易求得时用前者较方便。

例：刹车时，制动的原因是什么：

（a）制动闸和轮子间有摩擦力的原因；

（b）地面对轮子摩擦力的作用；

（c）制动闸和轮子间的摩擦力和地面对轮子摩擦力共同作用的结果；

（d）不确定

三、动量矩定理

矩，与转动有关。质点或质点系动量矩定理建立了质点或质点系的动量矩的变化与作用于其上的外力系主矩之间的关系，可用以解决动力学两类问题。

（一）动量矩的概念

动量矩是某瞬时，质点或质点系绕某点或某轴转动时机械运动强弱的一种度量。其数学表达式分述如下。

1.质点对固定点o的动量矩

（类比力矩的定义m_o(f)=r×f）

式中 r为质点对定点o的矢径。动量矩矢量是定位矢量，应画在o点。其单位是kg·㎡／s或n·m·s。

适用于惯性参考系。

2．质点系对固定点o的动量矩

3. 质点系对过定点o的正交坐标系各轴的动量矩

4，定轴转动的刚体对转轴c的动量矩（刚体：质点系，每个质点对定轴的动量矩之和，化简为下式）

，转动惯量和角速度的乘积

对比质点的动力学方程：f=ma

（二）转动惯量及其平行轴定理

1．转动惯量

刚体的转动惯量是刚体转动时惯性的度量。（质量是质点惯性的量度，转动惯量是质点系转动时惯性的量度）其表达式如表4-3-2所列。

并与刚体的质量及质量分布有关。其单位是kg·㎡。

回转半径（等效半径，质心——质点系；回转半径，刚体转动的质心。尽管在此说法不严格）并不是刚体上某个实际尺寸，而是设想刚体的质量集中在与z轴相距为ρz的点上，此集中质量对z轴的转动惯量与刚体对z轴的转动惯量相等。

2.转动惯量的平行轴定理

式中，z轴通过质心c且与z’轴平行，m是刚体的质量，d为z’与z轴之间的距离。

（三）动量矩定理

质点系动量矩定理的表达式随矩心不同而有所改变，具体列于表4-3-3。

表4-3-3中h_cr是在相对随质心平动坐标系的运动中，质点系对质心的动量矩；∑mc是作用在质点系上所有外力对质心的主矩。

动量矩和力矩的矢量形式关系与动量和力的关系等同，仅是对象刚体和质点。大家可以对比记忆。

（四）刚体平面运动微分方程

式中 jc是刚体对通过质心且与运动平面垂直的轴的转动惯量。

（五）例题

[例4-3-6] 一软绳跨在滑轮上，其两端一为重w的人，一为与人等重的物体。开始时，人与物体均静止不动。令人沿着绳子向上，问人能否上升?物体将上升还足下降?设滑轮与绳子的质量以及轴承中的摩擦力均可略去不计。

[解]

1．对象：选整个系统为研究对象。

2．受力分析：作用于此系统上的外力有轴承反力、重力w，显然这些力对轴o的矩之和始终为零。

即

故系统对z轴的动量矩保持守恒。

3．运动分析并计算动量矩

运动开始时系统中所有物体处于静止，系统的动量矩为

h_zl=0

令人沿着绳子向上，因此，必然要引起重物上升，才能保持系统对o轴动量矩为零。设某一瞬时，人相对于绳子的速度为vr，而重物上升的速度为v。注意到重物上升的速度就是绳子中下运动的速度。

动量矩是相对于惯性参考系，所以速度都是绝对速度。

因此，人的绝对速度va=vr-v0。设滑轮的半径为r，则此时系统的动量矩为

4．应用动量矩定理求解

由于系统对c轴动量矩守恒，故有

即

解得

同时得到

由此可见，人与重物以相同的速度上升；并且看到，在任何瞬时，重物上升的速度总是等于人相对于绳子的速度的一半。

[例4—3—7] 一飞轮由直流电机带动，已知电机产生的转矩m与其角速度的关系为：m=m1(1－ω/ω1)。式中，ml表示电机的起动转矩，w1叫表示电机无负载时空转角速度，且m1与ω1都是已知量。设飞轮对o轴的转动惯量为j₀，作用在飞轮上的阻力矩mf为常量，如图4—3—21所示。当m>m_f时，飞轮开始起动，求角速度o随时间t的变化规律。