四、动能定理

力对空间的积累效应。

动能定理建立了质点与质点系动能的变化与作用力的功之间的关系，它是研究质点和质点系动力学问题的重要定理之一。接下来先看复习下功

（一）力的功

力的功是力在一段路程中对物体作用的累积效应（空间，而冲量是力对时间的积累效应）。功的单位是n·m，称为焦耳(j)。功的计算表达式列于表4—3-4、表4—3—5。功是标量，但是有正功负功。

注意：变力做功：微小路程内认为是恒力做功，微元思想——元功，总功是元功的积分。

常见力做功的表述见：

     重力始终是竖直向下，所以沿重力方向向下有位移，重力做功为正；相反取负。

     弹性力做功：是由元功推导出的，元功fdб=kбdб.

     力矩做功——力矩与转角的乘积。包括力偶。

（二）动能

动能是物体由于速度而具有的能量，它是物体机械运动的一种量度。动能恒为正值。单位与功相同。动能的具体表达式如表4—3—6。

质点系的动能是所有质点动能之和。

注意：定轴刚体转动动能的表达。1/2jw²,    与质点平动动能相似1/2mv²，

平面运动刚体：平动动能+转动动能

（三）势能

计算中发现，某些力做功只与质点或者质点系的始末位置有关，这些力叫做保守力。这些力可以用场来描述，如重力（场），弹性力（场），万有引力（场）。如果物体沿任何一闭合路径运动一周，保守力做功为零。所以定义与始末位置有关的能量叫势能。如下定义：

质点或质点系在势力场中从某一位置运动到零位置时，有势力的功称为质点或质点系在该位置的势能。在不同势力场中势能的表达式如表4-3-7。

所以势能的大小与势能零位置有关，理论上零位置可以任意选取，实际中选择利于分析的位置为零。

注意：万有引力势能是质点或者质点系的初始矢径与末矢径的差。区别于重力势能和弹性势能。

 

（四）动能定理·机械能守恒定律

表4-3-8式中，上角标e与i分别表示外力与内力之功，一般内力的功不等于零；上角标a与n分别表示主动力与约束力之功，如果约束是理想的，即，所以对于理想约束系统，在运用动能定理解题时，只需要分析主动力。

能量是做功转化的量度，能量变化一定对应做功过程。动能定理就是功能关系方程式。

机械能守恒是指过程中机械能（动能+势能之和）不变。或者说质点或质点系的外力和非保守内力不做功，或者只有保守力做功，质点系的机械能守恒。

 

（五）例题

[例4-3-9]  质量为m的直杆ab可以自由地在固定套管中移动，杆的下端a点搁在质量为m、倾角为α的光滑楔块c上，而楔块c放在光滑的水平面上，如图4-3-27所示。由于ab杆的压力，楔块沿水平面向右运动，因而杆ab下降。试分别求出任一瞬时杆ab和楔块c的加速度aab和ac。

 [解]  加速度与速度相关，速度与能量相关

本题只需要求加速度，故可直接应用微分形式的动能定理，即

(1)对象：取直杆ab和楔块c组成的系统为研究对象，并将其处于任一瞬时t的位置，如图4-3-27所示。

(2)受力分析：系统的约束属于理想约束（约束：水平面对系统的支持力，约束力做功为零），所受主动力是杆的重力rng和楔块的重力mg。

      (3)运动分析：该两物体均作平动。设某瞬时直杆ab的速度为vab，楔块的速度为vc，为了建立此两速度间关系，对杆ab端点a应用点的速度合成定理，取a点为动点，楔块为动系，则有

显然，va=vab，ve=vc，因此，由图4—3-27所示的速度平行四边形可得

(4)动能与功的计算。

写出任一瞬时的动能，且可表示成vab的函数，即

系统在运动中只有杆ab的重力作功，设在dt内杆ab下降ds距离，则ab杆重力所作的元功为

(5)建立动力学方程

将式(1)、式(2)代入形式动能定理，得

注意到

于是上式可写为

由此可解得ab的加速度

将式

对时间t求导得楔块的加速度

[例4-3-10]  系统如图4—3—28所示。已知：物块m和滑轮a、b的重量均为p，且两滑轮视为均质圆盘，弹簧的刚性系数为k，绳重不计，绳与轮间无相对滑动。当m离开地面h时，系统处于平衡。现给m以向下的初速度v_o，欲使其恰能到达地面。试问v_o应为多少?

[解]  弹簧弹力变化，不考虑过程，我们用能量——动能定理解决。

以整个系统为研究对象，物块m作直线平动（只有平动动能），滑轮a作定轴转动（只有转动动能），b滑轮作平面运动（平动+转动动能），求物块m的初速度v_o，宜用积分形式的动能定理求解。

       系统中各物体的动能是多少？这是解题的关键。b的动能是最复杂的。

      由题给条件知t2=0（末状态的动能=0），

式中 v_o为物体m的初速度，ω_a是滑轮a的初角速度，ω_b是滑轮b的初角速度，由运动学知识得

式(2)代人式(1)有

在运动过程中只有重力与弹性力做功。设为系统处于平衡位置时弹簧的静变形，则物块由平衡位置达地面过程中作用于系统上作用力的功为

这里的关键是确定弹簧初末位置的形变：

为解，可取滑轮b为研究对象见图4—3—28(b)，根据静力平衡条件，知绳子拉力t=p,

故有

得

代入功的计算公式得

对系统应用动能定理：即

解得

方向如图所示。

      [例4-3-11]  综合题：

转动惯量的平行轴定理，定轴的动力学方程，质心运动定理

图4-3-29所示，均质圆盘可绕o轴在铅垂面内转动，圆盘的质量为m，半径为r。在圆盘的质心c上连接一刚性系数为k的水平弹簧，弹簧的另一端固定在a点，ca=2r为弹簧的原长，圆盘在常力偶矩m的作用下，由最低位置无初速地绕o轴向上转。试求圆盘到达最高位置时，轴承o的约束反力。

[解]  取圆盘为研究对象。

其在铅垂平面内作定轴转动，质心作圆周运动。

当圆盘的质心转到最高位置时，作用在其上的力有重力p、弹性力f、矩为m的力偶及轴承处的反力x₀与y₀，如图4-3-29(b)所示。由题意知，欲求圆盘达最高位置时的反力x₀与y₀，必须先解出该瞬时圆盘质心的加速度，故本题属动力学第一类。

首先由动能定理求圆盘的角速度ω。因初始处于静止，所以质心由最低位置运动到最高位置时，具体动能定理可写为1/2jw²：

关键转动惯量的确定——转动惯量的平行轴定理。转轴从质心——其他位置转轴，转动惯量的确定

将此代入上式，得圆盘处于图示第ⅱ位置时的角速度为

其次由定轴转动微分方程求ε，列出圆盘处于第ⅱ位置时的动力学转动方程为

  即

求出角加速度

最后，由质心运动定理求约束反力x₀与y₀，。按图4—3—29(b)所示坐标系，质心加速度（圆周运动，加速度分为切向加速度和法向加速度，归结到运动问题）的投影为

（加速度已知道，求力，直接）应用质心运动定理列方程

解得质心处于最高位置时轴承o处的反力为

 

如果求合力：（是合力，也就是计算正交的力矢量合成）

 

本题在求得ω后，为什么不用dω/dt求ε呢?因上面用动能定理求到的角速度是质心处于最高位置时，角速度的特定值，故不能求导（求导=0）。如求一般位置的ω，计算弹力的功很繁，因此，不用这种方法，而是用定轴转动微分方程求ε。所以用哪个方法，哪个定理，求什么量要根据题目的具体情况而定。

另外，定轴转动刚体的轴承约束反力，一般应假定为两个垂直分力x₀、y₀，不要无根据地丢掉一个分力。

 

解题时应注意的问题

1．计算功时除必须注意其正负号外，还必须注意内力所作的功；在计算动能时，必须用相应的绝对速度或绝对角速度来表示。

2．若应用动能定理的微分形式求加速度时，需列出任意瞬时系统的动能及元功的表达式。

3．势能的计算，应明确势能是相对给定的零势能位置而定的。在同一系统中的不同势力可取不同的零势面。可以依据具体情况的便利决定。