五、达朗伯原理

达朗伯原理是一种解决非自由质点系动力学问题的普遍方法。这种方法将质点系的惯性力虚加在质点系上，使动力学问题可以应用静力学写平衡方程的方法来求解，故称为动静法，动静法在工程技术中得到广泛的应用。此法最大的特点是引入惯性力的概念。惯性力什么？本质是个虚拟力，不是实际物体受到的力。

（一）惯性力

当质点受到其他物体的作用而改变其原来运动状态时，由于质点的惯性产生对施力物体的反作用力，称为质点的惯性力。惯性力的大小等于质点的质量与其加速度的乘积，方向与加速度的方向相反，并作用在施力物体上。惯性力的表达式为

（二）达朗伯原理

         这是引入惯性力的一个原理：

在非自由质点m运动中的每一瞬时，作用于质点的主动力f、约束反力n和该质点的惯性力fi构成一假想的平衡力系。这就是质点达朗伯原理，其表达式为

对于质点系而言，

在非自由质点系运动中的每一瞬时，作用于质点系内每一质点的主动力fi、约束反力n，和该质点的惯性力fii构成一假想的平衡力系。这就是质点系达朗伯原理。即

达朗伯原理是引入惯性力的原理，所以实质是不存在的，但是引入后将动力学问题转化为静力学问题，处理起问题方便，引入了动力学中一个新方法。（达朗伯，造就了一个静力学思想解决动力学问题的方法）

该定理可以解决动力学的两类问题。特别是对需要求解质点系的约束力或外力时，该理

更方便

（三）刚体运动时惯性力系的简化

我们的研究对象主要是刚体，所以接下来看一下质点系——刚体的动力学问题，可以将刚体上每个质点的惯性力组成惯性力系，用（静力学中已经学习过）力系简化的方法，得出简化结果。这些简化结果与刚体的运动形式有关。具体结果见表4-3-9。

平动》》》》》

定轴转动：仅讨论刚体具有质量对称面且转轴垂直于此对称面的情形。也就是不规则的刚体不讨论。

 

刚体的平动可以看成质心平动，所以平动的惯性力系简化类似质点的形式，如下表。

刚体的定轴转动时，刚体具有与转轴垂直的对称面，在任意瞬时，它的惯性力系首先可以化简为位于这个对称面内的平面惯性力系；

再向转轴与此对称面的交点o简化，得到该惯性力系的主矢和主矩。

选择o点为简化中心。主矩可以写为r=-mac，在此不要忘记，转动时加速度有法向和切向的，是这两个加速度的合成。

主矩，是相对于转轴的惯性力矩，转向与刚体的角加速度转向相反，大小等于刚体对转轴o的转动惯量与角加速度的乘积。

如果选择质心为简化中心时，运动力的平移定理，利用对上述o点的简化推到出向c点简化的主矢和主矩，如图中所示。注意转轴的变化——对应角动量由j₀变化到jc 。这就叫对应变化。做题时一定注意。

（四）动静法

根据达朗伯原理，在质点或质点系所受的主动力、约束反力以外，假想地加上惯性力或惯性力系的简化结果，则可用静力学建立平衡方程的方法求解动力学问题，这种求解动力学问题的方法称为动静法。必须指出，动静法只是解决动力学问题的一种方法，它并不改变动力学问题的性质，

1）因为惯性力并不作用在质点或质点系上，

2）质点或质点系也不处于平衡状态。

动静法中“平衡”只是形式上的平衡，并没有实际意义。应用动静法列出的平衡方程，实质上就是运动微分方程。

（五）例题

 

    [例4—3—13]  长方形匀质薄板重w，以两根等长的软绳支持如图4—3—37所示。设薄板在图示位置无初速地开始运动，图中α=30°。求此时绳子中的拉力。

 [解]

 (1)对象  以平板的为研究对象。

       (2)受力分析  运动开始时板受重力w、软绳约束反力t₁、t₂。

 (3)运动分析并虚加惯性力。 这是解题的关键

由约束条件知平板作平动，在运动开始时v=0，板上各点法向加速度为零，切向加速度垂直于软绳，大小aτ=aa=ab=ac=lτ，ε为软绳的角加速度，于是平板惯性力的合力

加于质心c上。如图4—3—37所示。

 (4)选坐标系，列方程求解。

作用于板上的主动力w，约束反力t₁、t₂及虚加的惯性力rⁱ构成平面平衡力系。（其中一定要注意惯性力的方向与实际加速度方向相反）

根据动静法列方程。转变为处理平面力系的平衡问题：列以下三个独立方程

转动问题，肯定有一个转动力矩平衡方程式：注

此时xy遵循了自然坐标，这样便于简洁处理问题。

未知量三个t₁、t₂，rⁱ，从此可求得t₁、t₂以及rⁱ，从rⁱ可得到薄板运动的加速度。

今设c=2b  w=1kn，从式(2)，得到

并得到板的加速度

代入式(1)，解得

从式(3)可得

例题：

 

析：平面力系向o点简化的结果，尽管对质心和o点简化结果一致，首先排除了c,d选项。对直杆而言，端点处得转动惯量为ml²/3,所以选择b。

七、单自由度系统的振动

自由振动微分方程；固有频率；周期；振幅；

衰减振动；阻尼对自由振动振幅的影响——了解振幅衰减曲线；

受迫振动；和受迫振动的特性：受迫振动频率；幅频特性；

 

（一）自由振动

仅受恢复力(或恢复力矩)作用而产生的振动称为自由振动。

恢复力是物体偏离平衡位置受到的力，使物体恢复到平衡位置的力；f=-kx。（k系统有关量）

如：弹簧振子（弹簧加一个可看做质点的物块m）。

1．振动方程·振动特性

一悬挂质量弹簧系统，现取系统静平衡位置为坐标原点o，建立坐标轴x，则以x为独立参数的振体自由振动的运动微分方程、振动方程、特性参数等都列在表4-3-11中。详细的推导过程见课本p51.

振幅,频率,初位相是简谐振动的三要素

 

自由振动特性小结：从表格中的内容我们把握以下自由振动的特点：

 (1)由运动方程（振动方程）x=asin(pt+α)，（a是初位相）可见，系统在恢复力作用下的自由振动是简谐振动。有时候也写作x=acos(pt+a)的形式，因为我们知道sin和cos的差别是初位相不同，他们相差pai/2.

       (2)自由振动的振幅a和初位相α都由运动的初始条件x_o、v_o来决定。

(3)自由振动的固有圆频率p（固有振动频率f）仅决定系统本身的基本参数：质量m和弹簧的刚性系数k。而与运动的初始条件无关。p=2paif，f是固有频率。

     (4)自由振动的固有频率f和周期t间的关系：f=1/t

     (5)表中的运动微分方程，以平衡位置为坐标原点的。

2．振动系统固有圆频率的计算

(1)直接法：质量一弹簧系统，设已知质量m和弹簧刚性系数k，直接代入公式即可求得。

(2)平衡法：质量一弹簧系统，在平衡时kδst=p=mg，δst是静变形，即k=p/δst=mg/δst故：

（注意适用对象：对于教材p51的图所示，是竖直悬挂的弹簧下端连接一个质量m的情形）

(3)列出系统的运动微分方程，化为标准形式如

  即可得到

式中  meq——等效质量，表示系统的惯性。

    keq——等效刚性系数，表示系统的弹性。

    q——系统的广义坐标。

(4)能量法

自由振动系统，只有重力和弹力做功，机械能守恒。

t+v=c  式中  t为动能，v为势能。

 

以上是单弹簧系统的研究状况，实际中常见弹簧的串并联情况，看一下串并弹簧时，系统的刚性系数是多少：

3．并联或串联弹簧的当量刚性系数(等效刚度)

如果弹簧并联：

（我们记忆最深的是电阻的串并联，可以对比记忆：弹簧的并联相当于电阻串联的情况，这样便于记忆）

串联：

4. 衰减振动：

      自由振动受到阻尼作用的振动。即：如下表述，存在公式：

对象是上述自由振动系统受到阻尼作用的情形。

1）其运动微分方程，其中n是衰减系数（实质是频率1/s）。

常见n <p₀，振动方程如图：

关键也是知道运动特点：

2）（掌握）阻尼对自由振动的影响：

a. 周期影响：周期加大；《1，认为周期不变。

b. 振幅影响：振幅随时间按照指数规律衰减。衰减显著。见下式：

衰减曲线见：

（二）强迫振动（受迫振动）

由干扰力引起的振动，称为强迫振动。

若干扰力随时间而简谐变化，则称为谐扰力，其可表为s=hsinωt。

现以系统的平衡位置为坐标原点，以坐标x为独立参数，将受谐扰力作用下的强迫振动的主要内容列于下表。

表中表示系统在干扰力的最大幅值h静止作用下所产生的偏移；z=ω/p称为频率比；n称为阻尼系数，γ=n/p称为阻尼比。

表中参数列分两栏，n=0，阻尼为零的强迫振动，n<p是欠阻尼的强迫振动。

重点记忆强迫振动特性小结：

(1)强迫振动的频率与干扰力的频率相同，与系统的固有圆频率p无关，且不受阻尼影响。

(2)在有关参数p、n、ω、h确定后，振幅b是一个常数，强迫振动是一个等幅的简谐振动，不会因阻尼而衰减。

(3)在有阻尼的情况下，强迫振动总是滞后于干扰力一个位相差ε。

(4)强迫振动的振幅b与位相差ε，都与运动的初始条件无关。（自由振动中是相关的），取决于系统的固有频率，阻尼，激振力的幅值及频率。

(5)共振：ω=p，a最大。

 

（三）例题

[例4-3-19]  图4-3-54所示的悬臂梁，在自由端上挂一弹簧，弹簧上悬挂一重p的物体。设在力p作用下弹簧的静伸长为δst，梁的自由端的静挠度为fst。如给重物一初速度v₀，试求重物的自由振动方程。梁和弹簧的质量均忽略不计。

 [解]  悬挂在梁上的物体，可以随悬梁上下振动。悬臂梁对物体的作用相当于一弹簧，根据悬臂梁端点的静挠度fst可算出此梁在端点沿铅垂方向的刚性系数为

类似地，可算出悬挂弹簧的刚性系数为

于是，图4—3—54(a)所示振动系统可以抽象为图4—3—54(b)所示的串联弹簧系统。又因串联弹簧可用一等效弹簧来替代，其当量刚性系数为

最终该系统可简化为图4—3—54(c)所示的质量弹簧系统。现以此力学模型进行求解。

(1)对象。取重物为研究对象。

(2)运动分析：重物由于初始干扰，沿铅垂方向作自由振动。为了简便，选取重物的静平衡位置o为坐标原点（只有这样运动微分方程才满足标准形式的运动方程），x轴向下为正。t=0时x₀=0，。

(3)受力分析。通常，将重物放在x轴正向的任一位置上进行受力分析。作用其上的力有重力p和弹性力f，力f在x轴上的投影为

(4)列运动微分方程，并求解振动规律。由f=ma得

因重物处于静平衡位置（x=o）时，重力p与静变形引起的弹性力f₀平衡，即有

故上式可简化为

即

（*）

式中

由表4—3—11所示的公式，可知式(*)的通解为

根据初始条件x₀=0，，可分别求得振幅a及初位相α为

此重物的自由振动方程可表示为