第五章 材料力学

第一节            绪论

一、        材料力学的任务

材料力学是一门重要的技术基础课。它既是固体力学的入门课程，又是结构设计课程的重要基础，材料力学的任务就是在构件具有相应承载能力的条件下以最经济的代价，为构件确定合理的形状和尺寸，选择适当的材料，为构件的设计提供必要的理论基础和计算方法。构件在荷载作用下必须满足以下条件。

强度-是指构件在荷载作用下抵抗破坏的能力。（即构件在荷载作用下不会发生意外断裂或不可恢复性变形）

刚度-是指构件在荷载作用下抵抗变形的能力。（即构件在荷载作用下不会产生过大的弹性变形-不超过工程的允许范围）

稳定性-是指构件保持其原有平衡形式的能力。（即构件在荷载作用下不会发生失稳现象）。

这里强调一下：材料力学所研究的仅限于材料的宏观力学行为，其主要研究对象是弹性范围内的杆件；不涉及材料的微观机理。

二、        变形固体的基本假设

在材料力学中经常要用到基于简化、假定的理想化，即对物体的形状、材料以及作用在物体上的荷载作某些与实际相近的简化或假定，使复杂问题理想化。下面介绍关于材料理想化的几个基本假定，即有关变形固体的基本假定。

各种构件均由固体材料制成。固体在外力作用下将发生变形故称为变形固体。材料力学中对变形固体所作的基本假设是：

（一）均匀、连续性假设

组成固体的物质毫无空隙地充满了固体的几何空间。

（二）各向同性假设

在固体的体积内，物体中各点在各个方向上的力学性能相同，可以用一个参数描写各点在各个方向上的某种力学性能。

（三）小变形假设

小变形就是：构件由荷载引起的变形远小于构件的原始尺寸。变形远小于构件尺寸，在研究构件的平衡和运动时按变形前的原始尺寸进行计算,以保证问题在几何上是线性的。小变形假设使问题得到简化：分析结构平衡时，可采用理论力学的刚体静力学方法；构件的复杂变形可处理为若干基本变形的叠加。

三、        杆件的主要几何特征

杆件是指长度远大于横向尺寸(高度和宽度)的构件。这是材料力学研究的主要对象。杆件的两个主要的几何特征是横截面和轴线。

横截面——垂直于杆件长度方向的截面。

轴线——各横截面形心的连线。

若杆的轴线为直线，称为直杆。若杆的轴线为曲线，称为曲杆。

 

 

 

 

 

 

 

四、        杆件变形的基本形式:

 

杆件变形的基本形式有：拉伸、压缩、剪切、扭转、弯曲。材料力学后面的知识其实也是围绕这这五个基本形式展开的，或者是这几个形式其中的某两个、三个的组合，

上面是材料力学的一些概述内容，本小节重点掌握的是考试大纲中规定的：

材料在拉伸、压缩时的力学性能-低碳钢、铸铁拉伸、压缩试验的应力-应变曲线；力学性能指标。

五、        低碳钢在拉伸时的力学性能

（1）低碳钢试件的拉伸应力-应变曲线规律（四个阶段，3个强度指标），如图所示。

3个强度指标：强度极限；屈服极限；比例极限。塑性指标是：伸长率和断面收缩率。

（2）、卸载定律：在加载过程中，如果加载到强化阶段的任意点（d）后卸载，应力应变曲线沿着一条与oa平行的直线下降。即卸载按弹性规律，卸载后再加载，应力应变曲线基本按卸载路径返回。

（3）、冷缩硬化：

在加载到强化阶段后卸载，然后再加载，屈服点（d）明显提高，断裂前变形明显减小，这种现象称为“冷缩硬化”，即比例极限提高而塑性降低的现象。

六、        铸铁的拉伸压缩力学性能

特点：应力-应变曲线没有明显的直线部分，没有屈服阶段，只有一个强度指标-强度极限σb，铸铁的抗压能力显著高于抗拉能力。

第二节    轴向拉伸与压缩

本节大纲要求基本要求内容是：掌握轴力和轴力图；杆件横截面和斜截面上的应力；强度条件；虎克定律；变形计算。

七、         轴向拉伸与压缩的概念

（一）力学模型

轴向拉压杆的力学模型如下图5—2—1所示。

（二）  受力特征

其受力特点：是杆在两端各受一集中（合）力ｐ的作用，这两个ｐ力大小相等，指向相反，且作用线与杆轴线重合。判断是拉力和压力的方法就是：偏离截面的是轴向拉力，指向横截面的是轴向压力。  

（三）  变形特征

变形特征是：杆件主要产生轴线方向的均匀伸长(缩短)。

轴向拉伸(压缩)杆横截面上的内力

（一）内力

由外力作用而引起的构件内部各部分之间的相互作用力；

（二）求内力的方法-截面法

截面法是求内力的一般方法。用截面法求内力的步骤为

1．截开 在需求内力的截面处，假想地沿该截面将构件截分为二。

2．代替 任取一部分为研究对象，称为脱离体。用内力代替弃去部分对脱离体的作用。

3．平衡 对脱离体列写平衡条件，求解未知内力。截面法的图示如图5－2－2。

（三）轴力

轴力就是：轴向拉压杆横截面上的内力，其作用线必定与杆轴线相重合，称为轴力。以n（或f_n）表示。轴力n规定以拉力为正，压力为负。

（四）轴力图

表示沿杆件轴线各横截面上轴力变化规律的图线。

 

[例5－2－1]  画出图5－2－3中直杆的轴力图。

[解] 按照截面法的原则，我们首先 用截面1—1、2－2、3－3将杆截开，取脱离体如图所示。各截面的轴力n₁、n₂、n₃均假定为拉力。由静力平衡方程∑x=0分别求得：

其中负号表示轴力为压力。

取坐标系nox，x轴平行杆轴线，根据各段轴力的大小和正负可绘出轴力图，如图5-2-3所示。

分析与讨论：

１．本例中若取截面左部分为脱离体时，则应先计算杆件的未知外力(包括支座反力)。

２．用截面法求轴力时，总是假设截面上的内力为正，这样由平衡条件解得的内力的正负号，就是该截面上内力的实际的正负号。

３．作多个集中外力作用杆的轴力图可采用简易法，其原则是：在集中外力作用的截面上轴力图有突变，突变大小等于集中力的大小，突变方向看集中力对后段杆的作用是拉或压，拉者向上突变，压者向下突变。

上面的例题必须掌握。下面看10年的第59个真题，

59.等截面杆，轴向受力如图所示。杆的最大轴力是：

（a）8kn         （b）5 kn          （c）3kn           （d）13kn 

 

轴向拉压杆横截面上的应力

分布规律：轴向拉压杆横截面上的应力垂直于截面，为正应力。且正应力在整个横截面上均匀分布，如图5－2－4所示。

正应力公式                           

式中 ： n为轴力(n)，a为横截面面积(㎡)。 应力单位  n／㎡即pa。

轴向拉压杆斜截面上的应力

斜截面上的应力均匀分布，如图5－2－5，

其总应力及应力分量为：

总（全）应力：

斜截面的正应力和剪应力

式中  α—由横截面外法线转至斜截面外法线的夹角，以逆时针转动为正；—斜截面mm的截面积；—横截面上的正应力。

拉应力为正，压应力为负。　以其对脱离体内一点产生顺时针力矩时为正，反之为负。

根据公式可以看出：轴向拉压杆中最大正应力发生在α＝0度的横截面上，最小正应力发生在α＝90°的纵截面上，其值分别为：

最大剪应力发生在α=±45°斜截面上，最小剪应力发生在α=0度的横截面和α=９0°的纵截面上，其值分别为

下面看一个例题：这个题考的就是基本概念，很简单，根据上面的公式得到答案是c，

五、强度条件

（一）许用应力

材料正常工作容许采用的最高应力，由极限应力除以安全系数求得。

塑性材料   

脆性材料

式中：σ_s为屈服极限，σ_b为抗拉强度-强度极限，n_s，n_b为安全系数（大于1）。　

（二）强度条件

构件的最大工作应力不得超过材料的许用应力。轴向拉压杆的强度条件为

强度条件可以解决的三类问题：

强度校核：

截面设计a≥n_max/[σ]

确定许可荷载：n_max≤［σ］a

根据平衡条件，由n_max计算容许的外力［p］。

六、轴向拉压杆的变形 和虎克定律

（一）轴向拉压杆的变形

杆件在轴向拉伸时，轴向伸长，横向缩短；而在轴向压缩时，轴向缩短，横向伸长。

轴向变形△l＝l’—l    

轴向线应变ε＝△l/l 

横向变形  △a=a’－a

横向线应变ε’=△a/a

（二）虎克定律

当应力不超过材料比例极限时，应力与应变成正比。即

σ＝eε

式中  e为材料的弹性模量。

或用轴力及杆件变形量表示为

△l= nl/ea

式中  ea为杆的抗拉(压)刚度，表示杆件抵抗拉、压弹性变形的能力。

虎克定律可以描述为：在比例极限（材料发生线弹性变形对应的最大应力）内，杆的总线变形△l与轴力n，杆长l成正比，与乘积ea成反比。

（三）泊松比-横向变形系数

当应力不超过材料的比例极限时，横向线应变ε‘，与纵向线应变ε之比的绝对值为一常数。即

ν=∣ε’/ε∣

泊松比ν是材料的弹性常数之一，无量纲。

（四）变形能

杆件在外力作用下因变形而贮存的能量称为变形能。若变形是弹性的，则称为弹性变形能。轴向拉压杆的弹性变形能为

  

变形能的单位为焦耳(j)

比能： 单位体积内贮存的变形能，称为比能。

轴向拉压杆的弹性变形比能为

比能单位j／m3。

[例5-2-2]  图5-2-7所示钢木组合三角架中，钢杆ab的直径d=28㎜，许用应力[σ]₁=160mpa，弹性模量e₁=2×10⁵mpa；木杆bc的横截面为正方形，边长d=100㎜，许用应力[σ] ₂=5mpa，弹性模量e2=1×10⁴mpa。a、b、c节点均为铰接， 在节点b处作用一垂直荷载p。

1．若荷载p=36kn，试校核两杆的强度，并求节点b的位移；

2．求该结构的许可荷载；

3．若p等于许可荷载，计算钢杆的直径。

 [解]  1．校核两杆的强度

先求各杆的内力。取节点b为脱离体，如图(b)所示。由平衡条件：

  解得

 

两杆横截面上的应力

所以，两杆均满足强度条件。

  2．求节点b的位移

应先计算两杆在p力作用下的变形。

然后作变形位移图。结构变形后两杆仍应相交在一点，这就是变形的相容条件。因杆ab受拉力而伸长△l₁，b点移至新位置b₁；因杆cb受压力而缩短△l₂，b点移至新位置b₂。在小变形条件下，可用切线代替圆弧来确定节点b的新位置。即过b₁和b₂分别作ab_l和ab₂的垂线，两垂线的交点b’即为节点b的新位置，如图(c)所示。从图中可看出：

b点的水平位移为

b点的垂直位移为

所以，b点的位移为

3．求结构的许可荷载[p]

由强度条件，钢杆的许可轴力为

相应的许可荷载为

同理，木杆的许可轴力为

相应的许可荷载为

为了保证两杆都能安全、正常地工作，结构的许可荷载应取上述[p]₁、[p]₂中的较小值。即

[p]₁=[p]₂=37.5kn

    4．重新选择钢杆的直径

当p= [p] =37.5kn时，木杆的工作应力刚好等于许用应力，材料得到充分利用。但钢杆的工作应力比其许用应力小得多，表明它有多余的强度储备，故应重新选择钢杆的直径，使其达到既安全又经济的要求。由强度条件

得

于是，选取钢杆直径d＝22㎜，则钢杆的工作应力比其许用应力大2．8％，在工程上允许范围(±5％)以内。