第三节 剪切

本节大纲要求是：剪切和挤压的实用计算；剪切面；挤压面；剪切强度；挤压强度。

一、        剪切的实用计算

（一）剪切的概念

力学模型如图5—3—1所示。

受力特征 ： 构件上受到一对大小相等、方向相反，作用线相距很近且与构件轴线垂直的力作用。

变形特征：  构件沿两力的分界面有发生相对错动的趋势。

剪切面：  构件将发生相对错动的面。

剪力v：  剪切面上的内力。其作用线与剪切面平行。

（二）剪切实用计算

名义剪应力：假定剪应力沿剪切面是均匀分布的。若a_v为剪切面面积，v为剪力，则

许用剪应力：按实际构件的受力方式，用试验的方法求得名义剪切极限应力τ_o，再除以安全系数n。

剪切强度条件：剪切面上的工作剪应力不得超过材料的许用剪应力

 

挤压的实用计算

（一）挤压的概念

挤压：两构件相互接触的局部承压作用。

挤压面：两构件间相互接触的面。

挤压力p_bs：承压接触面上的总压力。

（二）挤压实用计算

名义挤压应力：假设挤压力在名义挤压面上均匀分布。

式中  a_bs为名义挤压面面积。当挤压面为平面时，则名义挤压面面积等于实际的承压接触面面积；当挤压面为曲面时，则名义挤压面面积取为实际承压接触面在垂直挤压力方向的投影面积。

许用挤压应力： 根据直接试验结果，按照名义挤压应力公式计算名义极限挤压应力，再除以安全系数。

挤压强度条件 ： 挤压面的工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力。上述提到的主要是一些概念性的理论。下面我们看一个例题，08年的考题。

 [例5—3—1]  某接头部分的销钉如图5—3—3所示。试计算销钉的剪应力τ和挤压应力σ_bs。

    [解]由图可见，销钉所受轴向拉力p将在钉头内形成一个高度为h=12mm，直径为d=32mm的圆柱形剪切面和一个外直径为d=45mm，内直径为d₀=34mm的环形挤压面。

由平衡条件得（剪力和挤压力）

v=p=100kn

p=p_bs=100kn

  所以，剪应力

挤压应力

[例5—3－2]  图5—3－4所示接头是由中间钢板(主板)通过上下两块钢盖板对接而成。铆钉与钢板材料相同， [τ]=130mpa，[σ_bs]=300mpa，[σ]=170mpa；铆钉直径d=20nm，主板厚度t₁=10mm，盖板厚t₂=6mm，主、盖板的宽度b=200mm。若p=200kn。试校核该接头的强度。

    [解]

    1．校核铆钉的剪切强度

   p力由主板传给铆钉，再由铆钉传给盖板。当铆钉直径相同，且外力作用线通过铆钉群截面的形心时，假设各铆钉的受力相同。因此左侧铆钉的受力图如图(b)所示。铆钉有两个剪切面。由平衡条件可得，

受剪面上的剪力

v=p/2n=p/2×5=p/10

剪切面面积

a_v=πd²/4

故

    2．校核铆钉的挤压强度

  主板厚度小于两块盖板厚度之和，故应校核铆钉与主板之间的挤压强度，即

    3．校核主钢板的抗拉强度

    画出左边主板的受力图和轴力图如图(c)所示。校核i—i、ⅱ—ⅱ截面的抗拉强度。

  对i—i截面：

  对ⅱ—ⅱ截面：

  4．校核盖板的抗拉强度

  盖板受力图和轴力图如图(d)所示。由图可见ⅱ—ⅱ截面处轴力最大而截面积最小，

  故ⅱ—ⅱ截面为盖板的危险截面，应校核其抗拉强度，

所以，接头强度足够。

 

[例5-3-3]  图5—3—5所示一托架。已知p=35kn，铆钉的直径d=20mm，铆钉受单剪，求最危险的铆钉截面上剪应力大小及方向。

  [解]

  1．受力分析

    因为p力不通过铆钉群截面形心，所以将力p向铆钉群截面形心简化，得一力和一个力偶。

p’=p=35kn

m=p×e=35×225×10^-3=7.875knm

2．由于力p’通过铆钉群形心作用，每个铆钉受力相等，故每个铆钉的剪力为

v’=v’₂=v’₃=v’₄=p/4=35/4kn

3．由于力偶m作用，每个铆钉受力不等，其大小与该铆钉离铆钉群截面形心的垂直距离成正比，力的方向垂直于各铆钉截面形心与钉群形心间的连线。则由

4．上述2、3两项计算中每个铆钉受到的两个力的合力即为每个铆钉的受力，显见铆

钉l、4受力最大

铆钉1的剪应力

方向如图(c)所示。

下面讲一个10年的考题。

第四节  扭转

本节大纲要求内容：扭矩和扭矩图，圆轴扭转切应力；切应力互等定理；剪切虎克定律；圆轴扭转的强度条件；扭转角计算及刚度条件。

二、        扭转的概念

（一）扭转的力学模型，如图5-4-1所示。

受力特征：杆两端受到一对力偶矩相等，转向相反，作用平面与杆件轴线相垂直的外力偶作用。

变形特征 ：杆件表面纵向线变成螺旋线，即杆件任意两横截面绕杆件轴线发生相对转动。

扭转角φ ：杆件任意两横截面间相对转动的角度。

（二）外力偶矩的计算

轴所传递的功率、转速与外力偶矩间有如下关系：

式中  传递功率n的单位：kw为千瓦，p_s为公制马力(1p_s=735．5nm／s)；转速n的单位为rpm(转每分钟)。教材中所讲的外力偶矩的公式是m=9549*p_k/n，其实和上面的公式一样，只是字母和单位不同，一个是kn.m，一个是n.m.

三、        扭矩和扭矩图

扭矩：受扭杆件横截面上的内力，是一个在截面平面内的力偶，其力偶矩称为扭矩。一般用m_t（教材用t）表示，见图5—4—2，其值用截面法求得。

扭矩符号：扭矩m_t的正负号规定，以右手法则表示扭矩矢量，若矢量的指向与截面外向法线的指向一致时扭矩为正，反之为负。

扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。

四、        剪应力互等定理和剪切虎克定律

（一）纯剪切

若单元体各个侧面上只有剪应力而无正应力称为纯剪切。

纯剪切引起剪应变γ，即相互垂直的两线段间角度的改变。如下图所示。

剪应变γ ：在剪应力作用下，单元体两相互垂直边间直角的改变量。单位为rad，无量纲。在材料力学中规定以单元体左下直角增大时，γ为正，反之为负。

（二）剪应力互等定理

在互相垂直的两个平面上，垂直于两平面交线的剪应力，总是大小相等，且共同指向或背离这一交线(上图)。即

τ=-τ^‘

（三）剪切虎克定律

当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，剪应力τ与剪应变γ成正比，即

τ=gγ

式中  g称为材料的剪变（切变）模量。

 

对各向同性材料，材料的三个弹性常数e（弹性模量），g（剪变模量），ν（泊松比）有下列关系：

即e、g、ν间只有二个独立常数。

五、        圆杆（轴）扭转时的剪应力  强度条件

（一）横截面上的剪应力

1．剪应力分布规律：横截面上任一点的剪应力，其方向垂直于该点所在的半径，其值与该点到圆心的距离成正比，见图5-4-3。

2．剪应力计算公式： 横截面上距圆心为ρ的任一点的剪应力为

横截面上的最大剪应力发生在横截面周边各点处，其值为

 

ip为截面的极惯性矩，wt为抗扭截面系数；

3．剪应力公式的讨沦

  (1)公式适用于线弹性范围(τ_max≤τ_p)，小变形条件下的等截面实心或空心圆直杆。

  (2)m_t为所求截面上的扭矩。

  (3)i_p称为极惯性矩，wt称为抗扭截面系数，对于实心圆截面（直径为d）。

空心圆截面(外径为d，内径为d)

其中

α=d/d

（二）圆杆扭转时的强度条件

强度条件：圆杆扭转时横截面上的最大剪应力不得超过材料的许用剪应力，即

由强度条件可对受扭杆进行强度校核、截面设计和确定许可荷载三类问题计算。

六、        圆杆扭转时的变形 和 刚度条件

（一）圆杆的扭转变形计算

单位长度扭转角-

扭转角

若长度l内，m_t、g、i_p均为常量时

公式适用于线弹性范围，小变形下的等直圆杆。gi_p表示圆杆抵抗扭转弹性变形的能力，称为抗扭刚度。

  （二）圆杆扭转时的刚度条件

刚度条件： 圆杆扭转时的最大单位长度扭转角不得超过规定的许可值，即

由刚度条件，同样可对受扭圆杆进行刚度校核、截面设计和确定许可荷载三类问题的计算。下面来看一个例题。

[例5—4—1]  一传动轴如图5－4—5所示。已知轴的直径d=45mm，转速n=300rpm，主动轮输入的功率n_a=36．7kw，从动轮b、c、d输出的功率分别为n_b=14．7kw、n_c=n_d=llkw；轴的材料为45号钢，g=8×10⁴mpa，[τ]=40mpa，[θ]=2⁰／m。试校核轴的强度和刚度。

图5-4-1

该题的求解方面同样采用截面法。

[解]  1．计算外力偶矩

 2．画扭矩图  确定危险截面

用截面1—1、2－2、3－3分别将杆截开，取各脱离体如(b)图示，由平衡条件∑mx=0，分别得

  扭矩图如图(e)所示。由图可见在ac段内的扭矩最大，m_t=700nm，因为轴是等截面的，故a_右—c_左间任一横截面均为危险截面。

3.强度校核

满足强度条件。

    4．刚度校核

满足刚度条件。

例题1-08年考题

例题2：2010年考题

圆轴直径为d,剪切弹性模量为g，在外力作用下发生扭转变形，现测得单位长度扭转角为θ，圆轴的最大切应力是：

(a)：

(b)：

(c) ：

(d)：

本题考的就是剪应力和扭转角的基本计算公式：，