第五节  截面图形的几何性质

本节大纲要求：静矩和形心；惯性矩和惯性积；平行轴公式；形心主轴及形心主轴惯性矩概念。

静距与形心
（一）定义

设任意形状截面图形的面积为a(图5—5—1)，则图形

对z、y轴的静矩（y/zda在整个图形范围内的积分，称为面积a对做坐标轴z、y的静矩）

  形心c的坐标

 （二） 特征

1．静矩是对一定的轴而言的，同一图形对不同坐标轴的静矩不同。静矩可能为正、  为负或为零。

2．静矩的量纲为[长度]³，单位为m³。

3．图形对任一过形心轴的静矩为零；反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。

4．若截面图形有对称轴，则图形对于对称轴的静矩必为零，图形的形心一定在此对称轴上。

5．组合图形对某一轴的静矩，等于各组分图形对同一轴静矩的代数和(图5—5—2)，即

 

 

惯性矩 、 惯性积

（一）定义

设任意形状截面图形的面积为a(图5—5—3)，则图形对y、z轴的惯性矩

对o点的极惯性矩

对y、z轴的惯性积

（二）特征

1．图形的极惯性矩是对某一极点定义的，轴惯性矩是对某—坐标轴定义的，惯性积是对某一对坐标轴定义的。

2．极惯性矩、轴惯性矩、惯性积的量纲为长度四次方，单位为m⁴。

3．极惯性矩、轴惯性矩其数值均为正；惯性积的数值可正可负，也可能为零，若一对坐标轴中有一轴为图形的对称轴，则图形对这一对坐标轴的惯性积必等于零；但图形对某—对坐标轴的惯性积为零，则这对坐标轴中不一定有图形的对称轴。

4．极惯性矩的值恒等于以该点为原点的任一对坐标轴的轴惯性矩之和，即

5．组合图形对某一点的极惯性矩或对某一轴的轴惯性矩，分别等于各组分图形对同一点的极惯性矩或对同一轴的轴惯性矩之和，即

组合图形对某一对坐标轴的惯性积，等于各组分图形对同—对坐标轴的惯性积之和，即

 

惯性半径

（一）定义

任意形状截面图形的面积为a，则图形对y轴和z轴的惯性半径分别为

（二）特征

1．惯性半径是对某一坐标轴定义的。

2．惯性半径的量纲为长度一次方，单位为m。

3．惯性半径的数值恒取正值。

平行移轴公式

设任意形状截面图形的面积为a(图5—5—4)，形心为c，图形对形心轴y_c、z_c的轴惯性矩分别为,惯性积为，则图形对平行于形心轴的坐标轴y、z的惯性矩和惯性积分别为

 

（惯性矩和截面惯性积的平行移轴公式）

运用上述公式时应注意：

1．利用平行移轴公式计算必须从形心轴出发；a、b是形心c在新坐标系y、z中的坐标，所以是有正负的。

2．在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小；但图形对形心轴的惯性积不一定是最小。

形心主轴  形心主惯性矩

主惯性轴： 截面图形对于某一对正交坐标轴的惯性积为零，则这对轴称为主惯性轴，简称主轴。即i_yz=0时，y、z轴即为主轴。

主轴的方位

主惯矩：截面图形对主轴的惯性矩，称为主惯矩。它是图形对过同一点的所有坐标轴的惯性矩中的最大值和最小值，其值为

且

形心主轴 ：通过图形形心的一对主轴。

形心主惯性矩： 截面图形对形心主轴的惯性矩。

可以证明：

1．若图形有一根对称轴，则此轴即为形心主轴之一，另一形心主轴为通过图形形心并与对称轴垂直的轴。

2．若图形有二根对称轴，则此二轴即为形心主轴。

3．若图形有三根以上对称轴时，则通过形心的任一轴均为形心主轴，且主惯矩相等。

常用简单图形的惯矩

公式5－5－17为矩形，5－5－18为圆形，5－5－19为空心圆截面

08年考题：

考的基本概念：极惯性矩的值恒等于以该点为原点的任一对坐标轴的轴惯性矩之和，即