第六节弯曲内力

本节大纲要求：梁的内力方程；剪力图和弯矩图；分部载荷、剪力、弯矩之间的微分关系，正应力强度条件；切应力强度条件；梁的合理截面；弯曲中心概念；求梁变形的积分法、叠加法。

一、平面弯曲的概念

弯曲变形是杆件的基本变形之一。以弯曲为主要变形的杆件通常称为梁。

弯曲变形特征：任意两横截面绕垂直杆轴线的轴作相对转动，同时杆的轴线也弯成曲线。

平面弯曲：荷载作用面(外力偶作用面或横向力与梁轴线组成的平面)与弯曲平面(即梁轴线弯曲后所在平面)相平行或重合的弯曲。

产生平面弯曲的条件：

(一)梁具有纵对称面时，只要外力(横向力或外力偶)都作用在此纵对称面内。

(二)非对称截面梁

纯弯曲时，只要外力偶作用在与梁的形心主惯性平面(即梁的轴线与其横截面的形心主惯性轴所构成的平面)平行的平面内。

横力弯曲时，横向力必须通过横截面的弯曲中心并在与梁的形心主惯性平面平行的平面内。

二、梁横截面上的内力分量——剪力与弯矩

（一）剪力与弯矩

剪力：梁横截面上切向分布内力的合力，称为剪力，以v表示。和教材中的fs一个意思。

弯矩：梁横截面上法向分布内力形成的合力偶矩，称为弯矩，以m表示。

剪力与弯矩的符号考虑梁微段dx，使右侧截面对左侧截面产生向下相对错动的剪力为正，反之为负；使微段产生凹向上的弯曲变形的弯矩为正，反之为负。

由截面法可知：

横截面上的剪力，其数值等于该截面左侧(或右侧)梁上所有外力在横截面方向的投影代数和；且左侧梁上向上的外力或右侧梁上向下的外力引起正剪力，反之则引起负剪力。

横截面上的弯矩，其数值等于该截面左侧(或右侧)梁上所有外力对该截面形心的力矩代数和；且向上外力均引起正弯矩，左侧梁上顺时针转向的外力偶及右侧梁上逆时针转向的外力偶引起正弯矩，反之则产生负弯矩。

（二）剪力方程与弯矩方程

剪力方程：表示沿杆轴各横截面上剪力随截面位置变化的函数，称为剪力方程，表示为

v=v(x)

弯矩方程：表示沿杆轴各横截面上弯矩随截面位置变化的函数，称为弯矩方程，表示为

m=m(x)

（三）剪力图与弯矩图

剪力图：表示沿杆轴各横截面剪力随截面位置变化的图线，称为剪力图。

弯矩图：表示沿杆轴各横截面上弯矩随截面位置变化的图线，称为弯矩图。

三、荷载集度与剪力、弯矩间的关系及应用

（一）q、v、m间的微分关系

设荷载集度q(x)为截面位置x的连续函数、且规定以向上为正，则有

（二）应用

1．校核剪力图、弯矩图的正确性

根据一阶导数的几何意义，式(5－6—1)和式(5－6－2)表明剪力图上某点的切线斜率等于梁上相应点处的荷载集度，弯矩图上某点的切线斜率等于梁上相应截面上的剪力。

由式(5—6—3)的几何意义可根据m(x)对x二阶导数的正负，定出m(x)图的凹向；若q(x)>0，则m图为上凸的曲线；若q(x)<0，则m图为下凸的曲线。若q(x)=0，则m图为直线。

2．利用微分关系作剪力图和弯矩图

由式(5—6—1)可得

即截面b上的剪力与截面a上的剪力之差等于梁上ab间荷载集度q(x)图的面积，但两截面之间必须无集中外力作用。

同理，由式(5－6—2)可得

即截b上的弯矩与截面a上的弯矩之差等于梁上ab间剪力图的面积，但两截面之间必须无集中力偶作用。

于是由式(5—6—1)、(5—6－2)，根据梁上已知的荷载集度，判定剪力、弯矩图的图线形状、凹向等，而由式(5—6—4)、 (5—6—5)确定控制截面的剪力、弯矩值，即可绘制剪力、弯矩图。

四、特殊截面上的剪力、弯矩值

(一)在集中力作用的截面处，v图有突变，m图形成尖角。突变值等于集中力的大小，突变方向与集中力作用方向一致。

(二)在集中力偶作用处，v图无变化，但m图有突变。其突变值等于该力偶之矩，突变方向看该力偶对后半段梁的影响，即该力偶对后半段梁为产生正弯矩，则向正方向突变，否则反之。

现将上节和本节中有关弯矩、剪力与荷载间的关系以及剪力图和弯矩图的一些特征汇总整理为表5－6－1，以供参考。

[例5－6—1] 图5—6—2所示悬臂梁，承载如图。试列出剪力方程、弯矩方程并作v、m图。

[解] 因梁上荷载不连续故需分段列方程。

用任意截面nn截开梁，取左部为脱离体，如图(b)所示。由∑y=0，

同理用任意截面kk截开梁，取左部为脱离体如图(c)所示。由∑y=0，

根据剪力方程、弯矩方程作图。对于线性方程只需算出各段的端值然后连直线即可。

v、m图如图(d)、(e)所示。

[例5—6—2] 写出图示梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。

[解] 1．首先求支座反力-正确的计算支座反例是绘制内力图的关键。

故所求的支座反力正确。

2．分段建立剪力方程和弯矩方程

3．作剪力图和弯矩图

根据ac段，cb段剪力方程绘制剪力图

ac段：v为常量，故y图为水平线。

cb段：v为一次函数，因而y图为斜直线：只需确定两个截面v值。

根据ac段，cb段弯矩方程绘制弯矩图

ac段 m为一次函数，因而m图为一斜直线，只需确定两个截面m值。

cb段 m为二次抛物线，只少要确定三个截面m值，然后用光滑曲线连起来。

抛物线顶点在 v=2qa-qx=0处

x=2a

第七节弯曲应力

一、弯曲正应力正应力强度条件-教材的88页

（一）纯弯曲

梁的横截面上只有弯矩而无剪力时的弯曲，称为纯弯曲。

图纯弯曲

图中性层与中性轴

中性层杆件弯曲变形时既不伸长也不缩短的一层。

中性轴中性层与横截面的交线，即横截面上正应力为零的各点的连线。

中性轴位置：当杆件发生平面弯曲，且处于线弹性范围时，中性轴通过横截面形心，且垂直于荷载作用平面。

hw083

中性层的曲率：杆件发生平面弯曲时，中性层(或杆轴)的曲率与弯矩间的关系为

式中 ρ为变形后中性层(或杆轴)的曲率半径；ei_z为杆的抗弯刚度，轴z为横截面的中性轴。

（二）平面弯曲杆件横截面上的正应力

分布规律：正应力的大小与该点至中性轴的垂直距离成正比，中性轴一侧为拉应力，另一侧为压应力，如图5—7—1(a)所示。

计算公式

任一点应力-

最大应力

式中 m为所求截面的弯矩，i_z为截面对中性轴的惯性矩，w_z为抗弯截面系数。 w_z是一个只与横截面的形状及尺寸有关的几何量。对于矩形截面：

对于圆形截面：

其余w_z按式w_z＝i_z/y_max计算。

需要注意的是：1，公式适用于线弹性范围、且材料在拉伸和压缩时弹性模量相等情况。

2．在纯弯曲时，横截面在弯曲变形后保持平面；横力弯曲时（梁的横截面上同时有弯矩和剪力），由于剪应力的存在，横截面发生翘曲，但精确研究指出，工程实际中的梁，只要跨度与截面高度之比l／h>5，纯弯曲时的正应力公式仍适用。

（三）梁的正应力强度条件

强度条件梁的最大工作正应力不得超过材料的许用正应力，即

注意，当梁内σtmax（拉）≠σcmax（压），且材料的[σ_t]≠[σ_c]时，梁的拉伸与压缩强度均应得到满足。

二、弯曲剪应力剪应力强度条件

（一）矩形截面梁的剪应力

两个假设：1．剪应力方向与截面的侧边平行。2．沿截面宽度剪应力均匀分布(见图5—7—2)。

计算公式

式中 v为横截面上的剪力，b为横截面的宽度，i_z为整个横截面对中性轴的惯性矩，s_z^*为横截面上距中性轴为y处横线一侧的部分截面对中性轴的静矩。

最大剪应力发生在中性轴处

（二）其他常用截面图形的最大剪应力

工字型截面

式中 d为腹板厚度，

工字型钢中，i_z/可查型钢表。

圆形截面

环形截面

最大剪应力均发生在中性轴上。

（三）剪应力强度条件

梁的最大工作剪应力不得超过材料的许用剪应力，即

式中 v_max为全梁的最大剪力；为中性轴一边的横截面面积对中性轴的静矩；b为横截面在中性轴处的宽度；i_z为整个横截面对中性轴的惯矩。

三、梁的合理截面

梁的强度通常是由横截面上的正应力控制的。由弯曲正应力强度条件，可知，在截面积a一定的条件下，截面图形的抗弯截面系数愈大，梁的承载能力就愈大，故截面就愈合理。因此就w_z／a而言，对工字形、矩形和圆形三种形状的截面，工字形最为合理，矩形次之，圆形最差。此外对于[σ_t]=[σ_c]的塑性材料，一般采用对称于中性轴的截面，使截面上、下边缘的最大拉应力和最大压应力同时达到许用应力。对于[σ_t]≠[σ_c]的脆性材料，一般采用不对称于中性轴的截面如t形、门形等，使最大拉应力σ_tmax和最大压应力σ_cmax一同时达到[σ_t] 和[σ_c]，如图5—7—3所示。