5.8弯曲变形

一、粱的挠度与转角

（一）挠曲线

在外力作用下，梁的轴线由直线变为光滑的弹性曲线，梁弯曲后的轴线称为挠曲线。

在平面弯曲下，挠曲线为梁形心主惯性平面内的一条平面曲线v=f(x)(见图5-8-1)。

（二）挠度与转角

    梁弯曲变形后，梁的每一个横截面都要产生位移，它包括三部分：

1. 挠度 ：梁横截面形心在垂直于轴线方向的线位移，称为挠度，记作v。沿梁轴各横截面挠度的变化规 律，即为梁的挠曲线方程。

v=f(x)

2．转角： 横截面相对原来位置绕中性轴所转过的角度，称为转角，记作θ。小变形情况下，

 3．此外，横截面形心沿梁轴线方向的位移，小变形条件下可忽略不计。

(三)挠曲线近似微分方程

  在线弹性范围、小变形条件下，挠曲线近似微分方程为

上式是在图5—8—l所示坐标系下建立的。挠度v向下为正，转角θ顺时针转为正。

二、积分法计算梁的位移

根据挠曲线近似微分方程(5—8—1)，积分两次，即得梁的转角方程和挠度方程，即由

式中  积分常数c、d，可由梁的边界条件来确定。当梁的弯矩方程需分段列出时，挠曲 线微分方程也需分段建立，分段积分。于是全梁的积分常数数目将为分段数目的两倍。为了确定全部积分常数，除利用边界条件外，还需利用分段处挠曲线的连续条 件(在分界点处左、右两段梁的转角和挠度均应相等)。

三、用叠加法求梁的位移

（一）叠加原理

  几个荷载同时作用下梁的任一截面的挠度或转角等于各个荷载单独作用下同一截面挠度或转角的总和。

（二）叠加原理的适用条件

  叠加原理仅适用于线性函数。要求挠度、转角为梁上荷载的线性函数，必须满足：

  1．材料为线弹性材料；

  2．梁的变形为小变形；

  3．结构几何线性。

（三）叠加法的特征

  1．各荷载同时作用下挠度、转角等于单独作用下挠度、转角的总和，应该是几何和，同一方向的几何和即为代数和。

2．梁在简单荷载作用下的挠度、转角应为已知或可查手册。

3．叠加法适宜于求梁某一指定截面的挠度和转角。

叠加法求梁变形的主要步骤是：首先分解荷载，使之成为几个只作用一个荷载的简单梁，再计算或从材料力学教材的典型变形表上查得各简单梁的变形，最后叠加到总变形。

   [例 5—8—1]  用积分法求图5—8—3所示各梁的挠曲线方程时，试问应分为几段?将出现几个积分常数? 并写出各梁的边界条件和连续条件。

    [解]  

. (a)挠曲线方程应分为两段，共有四个积分常数。

边界条件为 

连续条件为

    (b)挠曲线方程应分为两段，共有四个积分常数。

边界条件为

式中  k为弹簧的刚度。

连续条件为

(c)挠曲线方程应分为两段，共有四个积分常数。

边界条件为

连续条件为

分析与讨论

(1)凡荷载有突变处、有中间支承处、截面有变化处或材料有变化处，均应作为分段点。

(2)中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两部分之间的相互作用力，故应作为分段点。

(3)各分段点处都应列出连续条件。根据梁变形的连续性，对同一截面只可能有唯一确定的挠度和转角值。在中间铰处，虽然两侧转角不同，但挠度却是唯一的。

[例5-8-2]  试用叠加法求图5-8—4所示外伸梁外伸端c点的挠度v_c和转角θ_c。

 

    

    [解]  将荷载分解为b)、(c)、(d)三种情况，每种情况下的转角、挠度可查表得到：

由叠加原理：

第九节　应力状态分析和强度理论

本节大纲要求:平面应力状态分析的解析法和应力圆法；主应力和最大切应力；广义虎克定律；四个常用的强度理论。

一、应力状态的概念

（一）一点的应力状态

  通过受力构件内一点的所有截面上的应力情况称为一点的应力状态。

（二）一点的应力状态的表示法——单元体

围绕所研究的点，截取一个边长为无穷小的正六面体，用各面上的应力分量表示周围材料对其作用。称为应力单元体。

    特点：

1．单元体的尺寸无限小，每个面上的应力为均匀分布。

2．单元体表示一点处的应力，故相互平行截面上的应力相同。

（三）主平面、主应力、主单元体

主平面：单元体中剪应力等于零的平面。

主应力： 主平面上的正应力。

可以证明：受力构件内任一点，均存在三个互相垂直的主平面。三个主应力用σ_l、σ₂

和σ₃表示，且按代数值排列即σ_l>σ₂>σ₃。

  主单元体： 用三对互相垂直的主平面取出的单元体。

（四）应力状态的分类

根据主单元体上三个主应力中有几个是非零的数值，可将应力状态分为三类：

1．单向应力状态  只有一个主应力不等于零。

2．二向应力状态  有两个主应力不等于零。

3．三向应力状态  三个主应力都不等于零。

单向应力状态又称为简单应力状态，二向和三向应力状态统称为复杂应力状态。单向及二向应力状态又称为平面应力状态。

二、平面应力状态分析的解析法

    平面应力状态通常用单元体中主应力为零的那个主平面的正投影表示如图5—9—1所示。

（一）任意斜截面上的应力

    若已知一平面应力状态σ_x、σ_y、τ_xy,则与x轴成a^。角的斜截面上的应力分量为

式中  正应力σ以拉应力为正；剪应力τ以对单元体产生顺时针力矩者为正，α角以逆时 针转向为正。

（二）主平面 、主应力

主平面的方位角α₀

 

主应力

考虑到单元体零应力面上的主应力为零，因此

    单元体中互相垂直的两个截面上的正应力之和为常量，即

式中   β=α+90°。

（三）主剪应力及其作用面

作用面方位角α₁

数值

必须说明：

1．主剪应力τ_xy主是单元体上垂直于零应力面所有截面上剪应力的极大值和极小值。并不一定是该点的最大和最小剪应力。

2．主剪应力作用面(主剪面)与主平面成45°角，即

 

三、平面应力状态分析的应力圆法

（一）应力圆方程

    在平面应力状态σ_x、σ_y、τ_xy下，任意斜截面上的应力σ_σ与τ_σ间的关系式为一个圆方程。

  圆心

圆半径

（二）应力圆作法

若已知一平面应力状态σ_x、σ_y、τ_xy，则取横坐标为σ轴、纵坐标为τ轴，选定比例尺；  由(σ_x，τ_xy)确定点d_x，(σ_y，τ_yx)确定点d_y；连接d_xd_y交σ轴于c，以c为圆心，或为半径作圆，即得相应于该单元体的应力圆。

（三）应力圆与单元体之间的对应关系

  以上对应关系可概括为“点面对应，转向相同，夹角两倍”。

四、一点的最大正应力，最大剪应力

  一点的最大正应力为

一点的最大剪应力为

其作用平面与σ₂方向平行且与σ₁、σ₃的作用面分别成45°。

五、广义虎克定律

对于各向同性材料，小变形条件下，正应力仅引起线应变，剪应力仅引起相应的剪应变，所以应力一应变关系为

三向主应力状态下，主应力与主应变的关系为

平面应力状态下的应力应变关系为

上列式中，e为弹性模量，v为泊松比，g为剪变模量。

六、强度理论

（一）强度理论的概念  

    1．材料破坏的两种类型

    材料破坏型式不仅与材料本身的材质有关，而且与材料所处的应力状态、加载速度温度环境等因素有关。材料在常温、静载荷下的破坏型式主要有以下两种：

脆性断裂  材料在无明显变形下的情况下突然断裂。

塑性屈服(流动)  材料出现显著的塑性变形而丧失其正常的工作能力。

2．强度理论

在复杂应力状态下关于材料破坏原因的假设，称为强度理论。

研究强度理论的目的，在于利用简单应力状态下的实验结果，来建立材料在复杂应力状态下的强度条件。

（二）四个常用的强度理论

四个常用强度理论的强度条件可以统一地写成

式中  σ_r称为相当应力，其表达式为

第一强度理论(最大拉应力理论)    σ_r1＝σ₁

第二强度理论（最大拉应变理论）σ_r2＝σ₁－ν(σ₁+σ₂)

第三强度理论（最大切应力理论）σ_r3＝σ₁－σ₃

第四强度理论（最大形状改变比能理论）

（5-9-15）

    [σ]为材料的许用应力。

    对于工程上常见的一种二向应力状态如图5—9—3所示，其特点是平面内某一方向的正应力为零。设σ_y=0，则该点的主应力为

代入(5—9-15)式得：

第三强度理论(最大切应力理论)的相当应力为

第四强度理论(形状改变比能理论)的相当应力为

最大拉应力理论、最大拉应变理论是关于脆性断裂的强度理论；最大切应力理论、形状改变比能理论是关于塑性屈服的强度理论。

强度理论的选用

在三向拉应力作用下，材料均产生脆性断裂，故宜用第一强度理论；而在三向压缩应力状态下，材料均产生屈服破坏，故应采用第三或第四强度理论。当材料处于二向应力状态作用下时：

脆性材料易发生断裂破坏，宜用第一或第二强度理论；

    塑性材料易发生塑性屈服破坏，宜用第三或第四强度理论。

    [例5-9-1]  已知构件上某点的应力单元体如图5-9-4(a)，(b)所示(图中应力单位为mpa)。试求指定斜截面上的应力。

    [解]  图示单元体处于平面应力状态。（先整理基础参数）

(1)在图示坐标中

代人公式(5-9-1)、(5-9-2)得

 σ_α、τ_σ方向如图中所示。

(2)在图示坐标中，

σ_α、τ_σ方向如图中所示。