第十节　组合变形

本节大纲要求：拉/压-弯组合、弯-扭组合情况下杆件的强度校核；斜弯曲。

一、概述

（一）组合变形

什么是组合变形：杆件在外力作用下，同时产生两种或两种以上的同一数量级的基本变形，称为组合变形。

（二）组合变形强度计算的步骤

在小变形和材料服从虎克定律的前提下，可以认为组合变形中的每一种基本变形都是各自独立、互不影响的。因此对组合变形杆件进行强度计算，可以应用叠加原理，采用先分解而后叠加的方法。其基本步骤是：

1．将作用在杆件上的荷载进行简化与分解(横向力向截面的弯曲中心简化，并沿截面的形心主惯性轴方向分解；而纵向力则向截面形心简化)，使简化后每一组荷裁只产生一种基本变形。

2．分别计算杆件在各个基本变形下的应力。

3．将各基本变形情况下的应力叠加，便得在组合变形下杆件的总应力。

4．根据危险点的应力状态，建立强度条件，选择适当的强度理论进行强度计算。

二、斜弯曲

图5-10-1

（一）受力特征与变形特征

受力特征：横向力(或力偶)的作用线(作用面)通过横截面的弯曲中心，但不平行于梁的形心主惯性平面。

变形特征  弯曲平面与荷载作用平面不平行。

（二）应力计算

图5-10-2

    如图5—10—2所示，任意横截面上任意点(y，z)的应力为

（三）中性轴位置

由σ=0条件确定

式中  φ为外力作用线与y轴的夹角。

一般情况下，梁横截面的两个形心主惯矩并不相等，i_y≠i_z，故α与φ不等，即中性轴与合弯矩矢量方向不平行(即中性轴不垂直荷载作用面)，这是斜弯曲区别于平面弯曲的特点之一。

（四）强度条件

距中性轴最远的点是危险点。若截面具有棱角，则棱角点是危险点；无棱角的截面，应先确定中性轴的位置，再找到最远点(截面周边l平行巾性轴的切点处)。危险点处于单向应力状态。

设危险点的坐标为(y_l，z₁)，则强度条件为

或

m_y、m_x不在同一截面达到最大值时，应试算m_y、m_z较大的几个截面，才能确定危险截面。若材料的许用拉、压应力不同[σ_t]≠[σ_c]，则拉、压强度均应满足。

（五）变形计算

    先分别求出p_y、p_x产生的挠度v_y、v_x，然后几何合成，得

总挠度v与y轴的夹角为

    一般情况下，i_y≠i_z，故β≠φ

所以弯曲平面不平行荷载作用面。但β=|α|，中性轴垂直弯曲平面。

三、拉伸或压缩与弯曲的组合变形

（一）轴向力与横向力联合作用

    图5—l0—3所示ab梁同时受轴向拉力p及横向分布荷载q作用。

图5-10-3

任一横截面上的内力中：

由轴向力引起轴力n；由横向力引起弯矩m_z、剪力q_y。

横截面上任一点的正应力为

图示a截面为危险截面，上边缘点为危险点，处于单向应力状态，故强度条件为

对于脆性材料，则应分别校核其抗拉和抗压强度。对于塑性材料取σ_tmax、σ_cmax中绝对值最大者校核强度。

（二）偏心压缩(或拉伸)  

图5-10-4

图5—10—4所示杆件受偏心压力(或拉力)作用时，将同时产生轴向压缩(拉伸)和平面弯曲两种基本变形。

1．任一截面上的内力分量为

轴力                          n=－p

弯矩

2，应力计算

任一点k(y,z)的应力为

式中

偏心拉伸时，p用负值代入即可。

3、中性轴位置

横截面中心轴位置由σ=0确定，中性轴为一条不通过截面形心的直线。

式中  (z₀，y₀)为中性轴上任一点的坐标。

    中性轴在y、z轴上的截距分别为

式中负号表明，截距a_y、a_z分别与外力作用点位置y_p、z_p反号，即中性轴与外力作用点  分别处于形心的两侧。   

4．强度条件

危险点位于距中性轴最远的点处。若截面有棱角，则危险点必在棱角处；若截面无棱角则在截面周边上平行于中性轴的切点处。危险点的应力状态为单向应力状态，其强度条件为

若材料的[σ_t]>[σ_c]，则最大拉应力点与最大压应力点均需校核。

5．截面核心

定义  截面形心周围的一个区域，当偏心荷载作用于该区域时，截面上只出现一种应    力。

计算公式  确定截面核心，由与截面周边相切的中性轴截距，求外力作用点的位置，即

 

 

四、扭转和弯曲的组合

    当构件同时承受扭转力偶和横向力作用时，将产生扭转和弯曲两种基本变形。

（一）应力计算

    若某一截面上内力分量有扭矩m_t， 以及两相互垂直平面内的弯矩m_y、和

 m_z，剪力v_y、v_z通常略去不计。则该 截面上任一点(y，z)处的应力分量有扭转剪应力τ，及弯曲正应力σ。若构件的横截面为圆形或空心圆截面。由于过圆形或空心圆截面形心的任一轴均为形心主惯性轴，故可先计算合成弯矩

然后，再按平面弯曲，计算正应力。

（二）强度条件

危险点及其应力状态

危险点位于合成弯矩作用平面与横截面相交的截面周边处。其应力状态为平面应力状态。

强度条件

对于塑性材料，选用第三或第四强度理论，其强度条件分别为

式中

  

 

[例5-10-1]  截面为矩形b×h：90mm×180mm的悬臂木梁，承受荷载p_l=lkn，p₂=1．6kn，如下图所示，木材的e=i×l0⁴mpa。试求

l．梁内最大正应力及其作用点位置；

2．粱的最大挠度。

  [解]  1．最大正应力

  危险截面在固定端处，其弯矩为

危险点为固定端截面上的d_１点和d₂点，其正应力为

其中d_l点为拉应力，d₂点为压应力。

    2．最大挠度

    最大挠度发生在自由端截面

（力p1造成的绕度和p2造成的绕度之和。计算公式参考5.8节中的内容-教材99页）

    [例5-10—2]  矩形截面短柱承受荷载p1、p2作用如下图所示。试求固定端截面上角点a、b、c及d处的正应力，并确定该截面中性轴的位置。

    [解]  1．固定端截面的内力分量

2.各点应力

3．中性轴位置

设(y_o、z_o)为中性轴上任一点的坐标，则有

得中性轴方程

中性轴与y、z轴的截距

中性轴位置如图(b)所示。

 

第十一节　压杆稳定

本节大纲规定的要求：压杆的临界载荷；欧拉公式；柔度；临界应力总图；压杆的稳定性校核。

一、压杆稳定性的概念

（一）压杆的稳定平衡和不稳定平衡

    稳定平衡： 杆在轴向压力作用下，当外加干扰撤除后若仍能恢复原有直线形状的平衡，则杆件原来直线形状的平衡是稳定平衡。

    不稳定平衡：杆在轴压力作用下，当外加干扰撤除后若不能恢复原有直线形状的平衡，仍保持微弯状态的平衡，则杆件原来的直线形状的平衡是不稳定平衡。

（二）压杆的失稳与临界力

    失稳：压杆丧失其原有的直线形状的平衡而过渡为微弯状态的平衡的现象。

临界力 ：压杆保持直线形状的平衡为稳定平衡时，轴压力的最大值，也即压杆在微弯状态下保持平衡的最小压力。

二、细长压杆的临界力公式

细长压杆临界力的欧拉公式为

式中  e——材料的弹性模量；

i——压杆失稳而弯曲时，横截面对中性轴的惯性矩；

l——压杆长度；

μ——长度系数，与杆两端的约束条件有关，常见的各种支承方式的长度系数见下表。

 

三、欧拉公式适用范围

（一）临界应力

  在临界应力作用下，压杆横截面上的应力

 

    柔度参数综合反映了杆端约束、杆的长度、截面形状和尺寸等因素对临界应力的影响，λ是一个无量纲量。

    压杆柔度越大，临界应力就越小，压杆就越容易失稳。若压杆在两个形心主惯性平面内的柔度不同，则压杆总是在柔度较大的那个形心主惯性平面内失稳。

（二）欧拉公式的适用范围

欧拉公式是根据杆件弯曲变形的近似挠曲线微分方程式导出的，仅适用于小变形、线弹性范围的压杆，即临界应力σ_cr应小于材料的比例极限σ_p

用柔度表示

  λ_p是压杆能够应用欧拉公式的最小柔度，其值取决于压杆材料的弹性模量e和比例极限σ_p。例如，对于(q235)钢，e=2．06×10⁵mpa，σ_p=200mpa。  

则

用q235钢制成的压杆，只有当λ≥100时，才可以使用欧拉公式。

 

四、临界应力总图

根据压杆柔度λ的大小，压杆可以分为三种类型，分别按不同的公式来计算临界应力。

细长杆(大柔度杆)，λ≥λ_p

中长杆(中柔度杆)，λ_p≥λ≥λ₀

直线型经验公式

式中 a、b均是与材料有关的常数。

粗短杆(小柔度杆) λ≤λ₀

实际上就是强度问题。

工程上还应用一种抛物线型经验公式

式中  a₁、b₁、λ_c均与材料有关的常数。

    临界应力总图：表示压杆临界应力σ_cr随不同柔度λ的变化规律的图线(图5—11-1)。

五、压杆稳定校核

（一）安全系数法

  稳定条件： 压杆具有的工作安全系数n应不低于规定的稳定安全系数n_st

    即

式中  p_cr———压杆的临界压力；

    p——压杆承受的工作压力；

   n_st——规定的稳定安全系数。

（二）折减系数法

稳定条件：压杆横截面上的应力不超过材料的许用应力乘以考虑稳定的折减系数。

即

式中  φ为折减系数，是小于1的一个系数，它综合考虑了柔度λ对临界应力σ_cr、稳定安全系数n_st的影响，所以φ也是λ的函数。常用材料的φ值可查阅工程手册。

 

六、提高压杆稳定性的措施

（一）减小压杆的柔度

    1．选择合理的截面形状。

    2，加强约束，减小压杆的长度。

    3．改善杆端支承条件。

（二）合理选用材料

 

 [例5—11－l ] 两端为球铰支承的等直压杆，其横截面分别为图5—11－2所示。试问压杆失稳时，杆件将绕横截面上哪一根轴转动。

 [解]  压杆失稳时，将发生弯曲变形。由于杆端约束在各个方向相同，因此，压杆将在抗弯刚度为最小的平面内失稳，即杆件横截面将绕其惯性矩为最小的形心主惯性轴转动。如图所示。

[例5-11—2]  两端铰支压杆的长度l＝1200mm，材料为q235钢，e＝2x10⁵mpa，截面面积a=900mm²。若截面形状为(1)正方形，(2)d／d=0．7的空心圆管。求各杆的临界压力。

[解]  1．正方形截面

计算柔度

a₃钢λ_p≈100,λ>λ_p属细长杆

可以用欧拉公式计算临界压力

所以

属细长杆

2．空心圆截面

由

得

所以柔度

q235钢

由直线型经验公式

本题中二杆的截面积、杆长和支承方式均相同，只是截面形状不同。它们的柔度也不同，临界压力随柔度的减小而增大。

这里需要注意，对于给定的压杆，计算临界应力时应先计算柔度λ，根据值判断压杆类型，然后选择相应的临界应力公式，切忌不加判断就直接采用欧拉公式计算。

 [例5－11－3]  图5－11—3所示托架中的ab杆，直径d＝40mm，长度l＝800mm，两端铰支，材料为q235钢，cd杆为刚性杆。

 1．试求托架的极限荷载q_max。

2．若工作荷载q=70kn，规定的稳定安全系数n_st=2，试问此托架是否安全。

[解)  1．受力分析

取cd杆为脱离体，由平衡条件，∑m_c=0，

  2．ab杆的临界力

  计算长细比

  若用直线公式计算临界应力（临界力乘以杆体面积）

  则临界力

  3．托架的极限荷载

将n=n_cr代入n=2.27q

即得

4．托架稳定校核

q＝70kn时，托架的工作安全系数

所以，托架稳定性不足