第六章　流体力学

第一节　流体的主要物性和流体静力学

本节大纲要求：液体的压缩性与膨胀性；流体的粘性与牛顿内摩擦定律；流体静压强及特性，重力作用下静水压强的分布规律；作用于平面的液体总压力的计算。

一、流体的连续介质模型

流体包括液体和气体。物质是由分子组成的，流体也是一样，分子间存在间距，且这些分子不断地作无规则的热运动，分子之间又存在着空隙。而我们所讨论的流体并不以分子作为对象而是以一个引进的连续介质模型进行研究：认为流体是由连续分布的流体质点所组成的。或者说流体质点完全充满所占空间，没有空隙存在。描述流体运动的宏观物理量．如密度、速度、压强、温度等等都可以表示为空间和时间的连续函数，这样，就可以充分利用连续函数来对流体进行研究，不必考虑其微观的分子运动，只研究流体的宏观的机械运动。

二、流体的惯性、质量和密度

惯性就是物体所具有的反抗改变原有运动状态的物理性质。表示惯性大小的物理量是质量。质量愈大，惯性愈大，运动状态愈难改变．

单位体积内所具有的质量称为密度，以ρ表示。对于均质流体

式中 m 为质量，以千克（kg）计．v 为体积，以立方米（m³）计。所以ρ的单位为kg/m³

密度与温度和压强有关，表 6- 1-1 列出了在标准大气压下几种常见流体的密度值。

三、流体的压缩性和热胀性

在压强增大时，流体就会被压缩，导致体积减小，密度增加；而受热后温度上升时，流体的体积会增大，密度会减小，这种性质称为流体的压缩性和热胀性。

流体的压缩性指流体体积随压强而变的特性。压强增大，流体体积减小。通常以压缩性系数β来表示液体的可压缩性.

（6-1-2）

式中为体积的相对减小量；

dp 为压强的增量。

体积弹性系数 k 为β的倒数

（6-1-3）

β的单位为 m² / n , k 的单位为 n/m²．对于不同的液体，β 或 k 值不同；同一种液体，不同温度和压强下， β 或 k 值也不同。水的 k 值很大，常温下近似为 2.1 × 10⁹ pa （帕）。也就是说，当压强增加一个大气压时，水的体积只缩小万分之零点五左右，其他液体的 k 值也很大。所以一般清况下可以不考虑液体的压缩性，认为液体的密度为常数。

热胀性：

液体的热胀性，一般用膨胀系数α表示，与压缩系数相反，当温度增dt时，液体的密度减小率为

，热膨胀系数α=，α值越大，则液体的热胀性也愈大。α的单位为1/k.

对于气体，其密度与压强变化和温度变化密切联系，有着显著的压缩性和热胀性，可以根据气体状态方程= rt来说明它的变化。

式中：p为气体的绝对压强，单位是pa，r为气体常数，单位是j/(kg.k),r=8314/n,其中n为气体相对分子质量；t为热力学温度，单位是k。

四、流体的粘性

流体在静止时不能抵抗剪切变形。但当两层流体之间有相对运动时，在它们的接触面上就会产生内摩擦力：运动快的流层对运动慢的流层产生拖动作用．运动慢的流层对运动快的流层产生阻力。这种内摩擦力起阻止流体内部相对运动的作用。流体具有内摩擦力的特性就是流体的粘性。或者说粘性就是流体具有抵抗剪切变形的能力。由于流体的粘性，流体在运动过程中必须为克服内摩擦力而做功，由此导致能量损失，从而使流体的运动变得更为复杂。

根据牛顿内摩擦定律．流层间的内摩擦力 t 的大小与流体的性质有关，并与流速梯度和接触面积a成正比，与接触面上的压力无关。 即

（6-1-4）

以切应力表示为

    （6-1-5）

式中   μ一一黏性系数或黏度，或称动力黏性系数（动力黏度），以帕· 秒（ n.s / m²）为单位；

du——两流层间的速度差（见图 6-1-1 );

dy—― 两流层间的距离,为速度在垂直于速度的方向上的变化率，也称为速度梯度。可以证明，流速梯度代表了角变形速度。因此牛顿内摩擦定律说明了流体的切应力与角变形速度成正比。

    黏性系数μ反映了流体黏性的大小，不同种类的流体μ值不同，同种流体的μ值也随温度而变化：液体的μ值随温度升高而减小; 气体的μ值随温度升高而增大。在实用范围内μ值可以认为与压强的变化无关。在流体力学中还常常出现μ/ρ的形式，我们将它称为运动黏性系数（运动黏度），用ν表示：

    （6-1-6）

    ν的单位为m²/ s 或 cm²/ s ．

并不是所有流体都符合牛顿内摩擦定律的。有些流体不满足切应力与角变形速度成正比的关系，或者说它们的μ值并非与τ无关；这些流体如泥浆、油漆、接近凝固的石油等等被称为非牛顿流体，而符合牛顿内摩擦定律的流体如水、空气等则称为牛顿流体。本教材中只讨论牛顿流体.

五、作用在流体上的力-

流体的机械运动是由外力作用引起的，为了便于研究流体平衡和运动的规律，我们将作用在流体上的力分为质量力和表面力两大类。

质量力作用于流体的每一个质点上，其大小与受作用流体的质量成正比。常见的有重力、惯性力。对于均质流体，质量与体积成正比，故质量力与流体体积成正比，又称为体积力．单位质量流体上所受到的质量力称为单位质量力

式中m——流体的质量；一一总质量力；x = ，y= ，z =  ，分别为在x、y、z轴方向的投影，其单位为米／秒²  ( m / s² ) ，与加速度的单位相同.

表面力作用于流体的表面上：包括液体的自由表面，流体与固体间的接触面，以及所取流体脱离休的表面。根据作用力的方向，表面力又可分为垂直于作用面的压力和平行于作用面的切力两种。

设在脱离体表面上任一点取一微小面积△a （图 6- 1-2) , 所受压力和切力分别为△p和△t ，则该点的压强p和切应力 τ 为：

   

【 例 6-1-1 】 一平板在油面上做水平运动，如图 6-1-3 所示，已知平板而积 a = 1 m²，油层厚度δ= 2mm ，油的动力黏性系数μ= 0. 1 pa ·s ，平板运动速度 υ = 50cm / s ，求拖动平板所需的力.

【 解 】 由牛顿内摩擦定律 –

            

对于厚δ的油层来说，上面与平板接触的油层粘附在平板上，运动速度与平板相同。底面油层粘附在固定底板上，速度为零。

 

六、　流体静力学

流体静力学研究流体处于静止状态下的力学规律及其在实际工程中的应用。静止状态下流体质点间不存在相对运动，因此也没有切应力，这样，流体静力学主要是研究压强在空间的分布规律以解决求点压强及面压力的问题。

（一）、流体静压强的特性

静止流体中，表面力中只有压力，由式（ 6-1-8 ）知

p 表示当△a收缩至一个点时为该点的流体静压强。

流体静压强p有两个特性：

（1）流体静压强垂直于作用面，并指向作用面的内法线方向.

（2）静止流体中任意点的静压强与受压面的方向无关。即同一点各方向的流体静压强大小相等。（证明过程不在这里详细说明了）

（二）、重力作用下的液体静压强的分布规律

下面讨论作用在液体上的质量力只有重力时静压强的分布规律.

（1）液体静力学的基本方程

在静止液体中，任取一微小圆柱体，柱体长为 dl ，端面积为 da 并垂直于柱轴线，如图 ( 6-2-2 ）所示。作用在柱体上的表面力有两端面的压力及侧面的压力，端面压力 p_lda 及p₂da 是沿轴向的．侧面压力是垂直于轴的，故在轴向没有分力。作用在柱体上的质量力只有重力 g ，它与轴夹角为a.

写出微小圆柱体轴向力的平衡方程：

式（ 6-2-3 ）即重力作用下的静力学基本方程，它表示了在静止液体中，压强随深度按直线变化的规律。不论盛液体的容器形状如何复杂，只要知道液面压强 p₀和该点在液面下的深度 h ，就可用静力学基本方程求出该点压强。方程还表明，静止液体中任一水平面上，各点压强相等。即水平面是等压面。

（2）绝对压强、相对压强、真空值

以绝对真空为零点起算的压强称绝对压强，以p_abs表示；以当地大气压 p_a为零点起算的压强称相对压强，以 p 表示.

某点的真空值指该点的绝对压强p_abs不足于当地大气压强 p_a的值。绝对压强、相对压强、真空值之间的关系如图 6-2-3 所示。

压强的计量单位常用的有: 1 应力单位： n / rn² ( pa ) , kn / m² ( kpa ) ，如压强很高也可用 mpa（ 1 mp = 10⁶ pa ）。 2 液柱单位：有 mh₂o （米水柱） , mmh₂o （毫米水柱）或 mmhg （毫米汞柱）。将液柱单位乘以该液体的ρg（密度× 重力加速度）即可得到应力单位。 3 大气压单位：物理学上，一标准大气压（ atm ）相当于 760mm hg ，工程上为便于计算，采用工程大气压（ at） ，一工程大气压相当于 10mh₂o ，即

【 例 6-2-l 】如图 6-2-4 所示密封水箱，自由表面的绝对压强为 p₀ = 78. 4kpa ，水深 h₁ = 0.5m , h₂ = 2.5m 。试求 a 、b两点的绝对压强、相对压强和真空值（设当地大气压强为 98kpa ）。

【 解 】 利用 p = p₀＋ρgh得 a 、 b 两点绝对压强

a、 b 两点的相对压强为

由式（ 6-2-5 ）得 a 点的真空值为

（3）位置水头，压强水头和测压管水头

由式（ 6-2-2 ）可得

式中: z 为任一点在基准面以上的位置高度（基准面为任选的水平面） , p /ρg为测压管高度，又称压强水头，两者之和 ( z ＋)称为测压管水头 。 式（ 6-2-6 ）表明，静止液体中，各点测压管水头相等。见图 6-2-5。

【 例 6-2-2 】 为了测量密度为 ρ 的流休中一点 a 的压强，利用图 6-2-6 所示 u 形测压计来量测，设测压计中工作流体的密度为，测得高度 h₁， h₂，求 p _a。

【解】 过ρ与两种液体的分界面 b 作水平面 bc 。p_b= p_c

【例 6-2-3】应用水银压差计来测定 ab 两点的压强差的装置如图 6-2-7 所示。已知 z_a一 z_b = △h，并测得压差计读数 h 。试求p_a一p_b = ?

【 解 】 过ρ与ρ_hg 两液体分界面 c 作水平面 cd. p_c = p_d

应用静力学基本方程时，首先应找等压面，在重力作用下，等压面一定是水平面。但不是由同种液体连通的水平面上的点，压强是不同的。例如图 6-2-7 中的 e 与 f 点.

【 例 6 -2-4 】  两种容重不同互不混合的液体，在同一容器中处于静止状态，一般是重的在下，轻的在上，两种液体之间形成分界面，试证明这种分界面既是水平面又是等压面。

【 解 】 如图 6-2-8 所示，设分界面不是水平面而是倾斜面，如图中虚线所示。在分界面上任选 1 , 2 两点，其深度差为 △h，从分界面上、下两方分别求其压差为

       

因ρ₂＞ρ₁、ρ₂一ρ₁＞ 0 ，要满足上式必然是△h = 0即分界面是水平面。将△h = 0代人，得 △p = 0 ，所以分界面就是等压面。

 

 

三、静止液体作用在平面上的总压力

图 6-2-9 中 ab是与水平面成a角的一个倾斜平面的投影线，右面的图形为 ab 面的实际形状。设在受压面 ab 上任取一微小面积 da ，其中心在液面下的深度为h ，则作用在 da 上的压力为：

作用在 ab平面上的液体总压力

式中  h_c —― 受压面形心 c 在液面（相对压强为零的自由表面）下的深度；

a ―— 受压面的面积；

ρ一一 作用在受压面上的液体的密度；

p_c—― 受压面形心的压强，一般用相对压强。这样求出的总压力为液体作用在受压面的总压力，不包括大气压强对该平面的压力。

   

如果绘出 ab 面上的压强分布图，见图 6-2-10 ,

就等于压强分布图的体积。当ab 受压面为任意图形时，压强分布图为  以 ab 为底ρgh为高的截头棱柱体，其体积可用式（ 6-2-7 ）求出。但若 ab 面为 b ×h的矩形（ b 为水平线），以上截头棱柱体又可视作以压强分布图为底、顶， b 为高的棱柱体体积。可以更为直观地计算出作用在矩形受压面上的总压力。设压强分布图面积为ω（图中为梯形），则 p =ω· b

液体总压力的作用点（压力中心）位置可用合力矩定理确定。取图 6-2-9 上的ox为力矩轴，微小面积 da 上的液体压力对ox轴的力矩

将对ox轴的惯性矩转化为对通过受压面形心c且与ox轴平行的c轴的贯性矩：

可求得压力中心的公式

式中 y_d ——― 压力中心 d 沿 y 轴方向至液面（ox轴）的距离；

y_c  ——― 受压面形心 c 沿 y 轴方向至液面（ ox轴）的距离；

i_c   ——― 受压面对c轴的惯性矩。

【 例6-2-5 】 一铅直矩形闸门（图 6-2-11 ) ，已知 h₁ 为 lm ；h₂为 2m ，宽 b 为 1.5m , 求总压力及其作用点。

【例 6-2 – 6】  图 6-2-12 所示矩形闸门 ab ，门宽 b = 2m ，求总压力及其作用点。

 

 

四、静止液体作用在曲面上的总压力

在工程中常常会遇到曲面受压问题，如弧形间门，圆柱形油箱等。作用在曲面任意点的液体静压强都沿其作用面的内法线方向垂直于作用面，但曲面各处的内法线方向不同，彼此互不平行，也不一定交于一点。因此，求曲面上的总压力时，一般将其分为水平方向和铅直方向的分力分别进行计算。现研究二向曲面（如柱面、圆弧曲面） ab 上的液体总压力。图 6-2-13ab 为垂直于纸面的柱体，长度 l ，受压曲面 ab ，其左侧承受液体的压力。设在曲面土，深度 h 处取一微小面积 da ，作用在 da 上的压力 dp= pda = ρghda ，该力垂直于面积 da ，并与水平面成夹角a，此力可分解成水平分力 dp_x= dpcosa = ρgh dacosa和垂直分力 dp_z= dp sina =ρgh dasina .因为 dacosa 和dasina 分别等于微小面积 da 在铅直面和水平面上的投影．令 da_x = dacosa， da _z = dasina，所以 dp_x =ρgh da_x 及 dp_z=  ρgh da_z ，经积分可得：

式（ 6-2-9 ）右边的积分等于曲面 ab 在铅直平面上投影面积 a_x 对液面的水平轴 oy 的静矩. 设 h_c 为 a _x 的形心在液面下的淹没深度，则

可见，作用于曲面上的液体总压力p的水平分力p_x等于该曲面的铅直投影面上的总压力。因此，可以引用求平面总压力的方法求解曲面上液体总压力的水平分力。

式 （6-2-10）右边的 hda_z , 是以 da_z 为底面积，水深h为高的柱体体积。hda_z即受压曲面 ab 与其在自由面上的投影面积cd这两个面之间的柱体体积 abcd ，称为压力体，以 v 表示。所以

这就是说，作用于曲面上液体总压力p的铅直分力p_z等于其压力体内的液体重量。可见正确绘制压力体是求解铅直分力的关键.

压力体是由三种面封闭所成的体积：即 1 ）曲面本身； 2 ）液体的自由表面（相对压强为零）或自由表面的延长面； 3 ）自曲面两端向自由表面作铅垂面。p_z的指向取决于受压曲面和液体的相对位置：液体在受压曲面的上方则p_z向下；液体在受压曲面的下方则p_z向上。求出p_x和 p_z 后可求p

    其作用线必通过p_x与p_z作用线的交点。p的作用点位于 p 的作用线与曲面的交点. 但对许多实际问题往往只需求出p_x，p_z．即可，并不需要计算合力p。

 

【 例 6-2 -7 】 长度为 1m 的半圆柱（图 6-2-14 ) ，直径 d 为 3m ，左、右侧均有水，求 a b曲面上的总压力。

【 解 】（ 1 ）水平分力:

曲面 ab 的水平分力p_x等于作用在曲面 ab 的竖直投影面上的液体总压力为矩形，由于左、右侧均有水，应用求压强分布图体积的方法比较直观、简便。见图 6-2-14( a ) ，分别作左侧和右侧的压强分布图。由于左、右侧压强方向相反，抵消后剩下

c面上的三角形压强分布图和 c面上的矩形压强分布图。计算以上压强分布图的面积再乘以圆柱体长度 〔 垂直于纸面方向） lm 可得到压强分布图体积，即为所求的 p_x .

   

( 2 ）竖直分力  作压力体图见图 6-2-14 ( b ）。由于 ab 曲面的土半段与下半段绘制压力体时有重合部分，易混淆，故应以最大轮廓点 c 为分界，将其分为上半段 ac 与下半段 cb ，分别绘制其压力体图。又由于左、右侧均有水，故还需分别绘制左侧和右侧的压力体图。图 6-2-14 ( b ）中， ( l ）为 ac 受左侧水压力的压力体图； ( 2 ）为 cb 受左侧水压力的压力体图； ( 3 ）为 cb 受右侧水压力的压力体图（右侧水对 ac 无压力）。将三者叠加，方向相反的部分抵消后，剩下的压力体图见（ 4 ）。计算 p_z 。

p与水平的夹角

由于 ab 为圆弧面，合力p垂直于 ab 则应通过圆心，过圆心作与水平成 27.6°的直线即为p的作用线，其与曲面 ab 交于 d 点， 可求得 d 点水深h_d = ＋ sin 27.6°= 2.2m 。

【 例 6-2 - 8 】图 6-2- 15 所示一球形容器由两个半球面铆接而成，铆钉有n个，内盛密度为 ρ 的液体，求每一铆钉所受的拉力。

 

【 解 】 铆钉受的拉力应等于上半球所受的液体总压力（水平分力为零，只有竖直分力）。

绘出上半球的压力体图：压力体由 l ）上半球面； 2 ）自由表面，此处应为过测压管自由液面（相对压强为零）的延长面． 3 ）过上半球周界向自由面的延长而所作的铅垂面，此处即为圆柱面。这样，上半球压力体如图示（竖直线所示）。压力体体积为以 r 为半径以 h + r 为高的圆柱体减去以 r 为半径的半球：