第二节　流体动力学基础

先看一下本节考试大纲要求：以流场为对象描述流动的概念，流体运动的总流分析，恒定总流连续方程、能量方程和动量方程的应用。

本节将分析流体运动的基本规律及其在实际工程中的初步应用。由于工程中许多流动问题都以总流为对象，所以本节将主要讨论总流运动的三个基本方程 ― 连续性方程、能量方程和动量方程。

一、描述流体运动的方法

描述流体运动的方法有两种，即拉格朗日法与欧拉法。

拉格朗日法是以个别质点为对象，研究这些质点的各个运动参数随时间的变化情况，再将它们汇总起来以描述流体的整个流动。但是这样研究难度较大而且一般工程问题中只要求知道若干控制断面上运动参数的变化即可，并不需要了解个别质点的运动情况。因此我们通常采用较简便的欧拉法来描述流体的运动。

欧拉法是以流场为对象，研究流场中给定空间点上不同质点的运动参数随时间的变化情况，汇总起来就构成了整个流动。按欧拉法，各运动参数如速度 u 、压强 p 等都是空间坐标（x， y ，z）和时间 t 的函数。即

式中坐标x、 y 、 z 和时间变量称为欧拉变数。

二、流体运动（流场）的基本概念

（一）恒定流和非恒定流

 根据流体运动参数是否随时间变化将流体运动分为恒定流和非恒定流。若所有的运动要素（流速、压强等）均不随时间而改变称为恒定流。反之，则为非恒定流。

在本章中，我们只讨论恒定流 .

 

（二）流线和迹线

流线是在流场中画出的这样一条曲线：同一瞬时，线上各流体质点的速度矢量都与该曲线相切，这条曲线就称为该瞬时的一条流线。由它确定该瞬时不同流体质点的流速方向。其绘制方法如下：

从空间某点 m 开始，沿 t_l 时刻 m 点流速 um 方向取一相邻的点 n ，再沿同一时刻 t_l 点 n 的流速u_n 方向取相邻的点p……，依此类推，当各相邻点的间距无限缩小时，折线mnpq趋近为一条光滑曲线，这就是瞬时 t_l 通过 m 点的流线。见图 6-3-1 。如果绘出同一瞬时各空间点的一组流线，就可以描绘出整个流场在该瞬时的流动图像。

流线的特征是：在同一瞬时的不同流线一般情况下不能相交．流线也不能转折，只能是光滑的曲线.

迹线是某一流体质点在一段时间内运动的轨迹，迹线上各点的切线表示同一质点在不同时刻的速度方向

流线是针对某一时刻，而迹线是针对某一质点。

在恒定流中，流线、迹线两者重和，在非恒定流中，两者相异。

（三）流管、元流、总流和过流断面

在流场中任取一微小封闭曲线，通过曲线上的每一点均可作出一根流线，这些流线形成一管状封闭曲面（图 6-3-2 ）称流管。由于速度与流线相切，所以穿过流管侧表面的流体流动是不可能的。这就是说位于流管中的流体有如被刚性的薄壁所限制。微小流管中的液（气）流就是元流，元流的极限是一条流线。总流是无限多元流的总和。因此，在分析总流前，先分析元流流动，再将元流积分就可推广到总流.

与元流或总流的流线相垂直的截面称过流断面，用符号 a 表示其断面面积。在流线平行时，过流断面为平面，流线不平行则过流断面为曲面.

 

 

（四）流量和断面平均流速

单位时间内流过某一过流断面流体的体积称流量，用符号 q 表示，单位 m ³ / s 。此外流量还可以用重量流量和质量流量来表示，单位分别为kn / s , kg / s 。重量流量 g =ρgq ，质量流量 m = ρq，水管常用体积流量，气体管道多用重量流量或质量流量.

设元流过流断面 da ，断面上流体质点的流速 u ，可得元流的流量 dq =  uda 。通过总流过流断面 a 的流量应等于无数元流的流量总和，

（五）均匀流、非均匀流和渐变流

根据位于同一流线上各质点的流速矢量是否沿程变化，可将流体流动分为均匀流和非均匀流。流线为平行直线的流动称为均匀流。如等直径长管中的水流，其任一点的流速的大小和方向沿流线不变。反之，流线不相平行或不是直线的流动称为非均匀流。即任一点流速的大小或方向沿流线有变化。在非均匀流中，当流线接近于平行直线，即各流线的曲率很小，而且流线间的夹角也很小的流动称为渐变流。否则，就称为急变流。渐变流和急变流没有明确的界限，往往由工程需要的精度来决定。渐变流的极限清况就是均匀流。

 

 

三、恒定总流的连续性方程

（一）元流的连续性方程从总流中任取一段，其进口的过流断面为 1－ 1 , 面积为 a ₁ , 出口过流断面为 2 － 2 , 面积为 a₂ ，（图 6-3-4 ）。

   

再从该总流中任取一个元流，其进口过流断面为 da₁ ，流速为 u_l ；出口过流断面为 da₂ ，流速为u₂ .

对于不可压缩流体，密度是一常数，因此 dt 时间内经 da₁ 流进的流体质量为ρdq₁dt 经 da₂ 流出的流体质量为ρdq₂d t .

在恒定流条件下，元流的形状不随时间而改变，流体作为连续介质，在元流内部不可能出现空隙，流体质点也不可能穿过流管流进或流出，因此根据质量守恒原理，经 da₁ 流进的流体质量应等于经 da₂ 流出的流体质量，即

以上是元流的连续性方程，它们说明了元流的流速与过流断面面积成反比。由此可知，流线密的地方因过流断面面积小而流速大，流线疏的地方因过流断面面积大而流速小。

 

（二）总流的连续性方程

总流是无数个元流的总和。将元流的连续性方程各项在总流的过流断面上积分即可得到总流的连续性方程。

根据前述断面平均流速的概念：

式（ 6-3-3 ）或式（ 6-3-5 ）称为总流的连续性方程。

上述总流的连续性方程是在流量沿程不变的条件下得出的。若沿程有流量流进或流出，总流的连续性方程仍适用，只是形式有所不同。对于图（ 6-3-5 ）的情况有：

四、恒定总流能量方程

（一）元流能量方程

在流场中选取一元流，如图6-3-6 所示。在元流上取断面 1 一 1 和断面 2 一 2 ，两断面的高程和面积分别为 z₁ 、z₂和 da₁ 、 da₂ 。两断面的流速和压强分别为u₁、u₂和 p_l 、 p₂ 。以两断面间的元流段为研究对象，在 dt时间内由原来的 1122 位置移动到位置，断面 1 一 1 和断面 2 一 2 分别移动了 u₁dt 和u₂ dt 的距离.

根据功能原理：外力（不包括重力）对物体所作的功等于物体机械能（位能和动能）的变化。其各项具体分析如下：在移动过程中断面 1 一 1 所受压力 p_lda₁ ，作正功 p₁da₁u₁ dt，断面 2 一 2 所受压力p₂ da₂与流动方向相反，所作的功是负的，等于一p₂da₂u₂dt.元流侧面所受的压力和元流流向垂直，在流动过程中没有作功。而沿元流侧表面还有和流体方向相反的内摩擦阻力作了负功一 dh_w ，因此外力（不包括重力）作功为：

经过 dt 时间后从位置 1 122 变化到 位置，在恒定流的条件下22 这段流体的能量没有发生变化，所以 dt 时间内流体能量的变化，也就是新位置 2 一的能量和原位置 1 一的能量之差值。

由于流体不可压缩、新旧时刻流体位置变化1 一、2 一所占据的体积等于 dqdt，质量等于ρdqdt 。据物理学中的公式，动能mu²，位能 mgz ，所以动能增值为

位能的增值为

   

按功能原理（ 1 )= ( 2 ) + ( 3 ) ，可得：

   

等式各项除以ρgdqdt ，并设整理后得：

   

式（ 6-3-6 ）就是不可压缩流体元流能量方程。它反映了恒定流中沿流各点位置高度 z ，压强 p 和流速u之间的变化规律.

 

（二）渐变流断面上的压强分布

为将元流的能量方程推广到总流，需利用渐变流的特点。前面流体运动的分类已提渐变流中各流线的曲率很小，而且流线间的夹角也很小。也就是说，渐变流中任一点的流速的大小和方向沿流线的变化很小。因此，可以不考虑惯性力，同一过流断面上各点间的压差由重力引起，断面上压强分布与静压强分布规律相同 ——― 直线分布即

式中下标 a 、 b 表示同一断面上的不同位置的点，如图 6-3-7 所示。

 

（三）总流的能量方程

将元流能量方程式（ 6-3-6 ）各项乘以ρgdq ，得单位时间通过元流两过流断面的流体（总重量）的能量关系（式（ 6-3-6 ）表示的是单位重量流体的能量关系）.

注意到 dq = u₁da₁= u₂ da₂, 将上式在总流过流断面上积分，得到通过总流两过流断面的流体总能量之间的关系：

设两过流断面位于渐变流，z＋= 常量

用断面平均流速代替点流速来计算单位时间通过总流过流断面的动能，考虑到断面上流速分布的不均匀性乘以动能修正系数a。因为速度立方的平均值大于其平均值的立方，故 a 恒大于 1 。断面流速分布愈不均匀，a愈大，例圆管层流 a = 2.0，紊流 a = 1 .05 一 1.1 ，通常计算可取 a = 1.0。

至于损失项，自1断面至 2 断面总流的各元流是不同的，为了简化暂以 h_w 代表平均值（h_w 的分析和计算将在下一节中讨论），即自 1 断面至 2 断面总流的各元流的单位重量流体的能量损失均为 h_w ，则

将以上各式代入式（ 6-3-7 ) ，并除以 ρgq 得

 

 

总水头 h 总是沿流减小的，即恒为负值，而水力坡度总是取正值，所以上式右端加一负号。

测压管水头沿流的变化由测压管水头线表示。单位长度流程上的测压管水头线降落 j_p 称测压管水头线坡度：

因为测压管水头即为单位重量流体所具有的势能，而势能和动能是可以互相转化的，所以测压管水头线坡度可正可负，也可为零，在均匀流中，流速沿流程不变，即动能不变，这时测压管水头线与总水头线平行，表明由于损失使势能减小，损失多少，势能就减小多少。

在能量方程的推导中，作了流体是不可压缩的，流动是恒定的，流体只受重力这一质量力的作用等假定，并且在从元流到总流能量方程积分的过程中引用了所取的断面必须为渐变流动断面的条件，还要在两断面间没有能量和流量输人或输出的情况下，所以应用时必须遵循上述假定和条件。但对于有能量或流量输人（出）的清况，将能量方程稍作改变后仍可推广使用。

1 在同一流动中，另有机械能输入（如泵或风机）或输出（如水轮机），此时能量方程形式为

式中，＋h₀输人的单位能量；一h₀输出的单位能量。

2 对有流量输出的分岔流（图 6-3-9 )

图6-3-9

流体从总管分送到两个支管即分成两股流体。图中 abc 为两股流体的分界面。这两股流体均有一定的大小，对每一股流体均可应用总流的能量方程。当断面 1 － l 、 2 － 2 、 3 － 3 处于渐变流时，就可以分别列断面 1 － l 和2 － 2 的能量方程及断面 l － 1 和 3 － 3 的能量方程。由于两股流体的流动情况不同，两者的水头损失不同，即h_{w1  2}≠ h_{w1  3} ，具体可写成：

五、能量方程的应用

（一）应用步骤和注意事项

l 首先分析流动情况，确定我们讨论的是哪一段总流。再选基准面0－0，以使位置高度 z 的计算方便为宜。

2 选断面 1 － 1 , 2 － 2 。断面的选择应使方程中已知项尽可能多，如选择自由液面或管道流人大气的出口断面，这时 p = 0。所选断面必须是渐变流断面（曾经出过考题）（两断面之间可以是急变流）。

3 选计算点，可选断面上任意一点以确定 z 及 p 值.一般对管流，计算点往往选在管轴与断面相交的一点；对于明渠流，计算点往往选在自由液面与断面相交处，此时 p = 0 。

4 列能量方程，根据已知各项数值求解未知数。在计算压强时，一般方程两边都以大气压强为零即取相对压强计算。如果方程两边都按绝对压强计算p也是可以的。

 

（二）应用举例

【 例6-3-1】 文丘里流量计

文丘里流量计是用来测量管道流量的，由收缩段、喉管和扩大段三部分组成。它的形状如图 6-3-10 所示。使用时，将它连接在管道中，在流量计上游进口断面 1 － 1 和在收缩管中的渐变流断面 2 一 2 处各接测压管（见管上方所示）。设已知管中为水流，管径 d_l 、 d₂ 及测压管水头差均已知，求流量 q.

【 解 】 任选一基准面 o－ o ，写出断面 l － 1 和 2 － 2 的能量方程 〔 不计水头损失） :

取 a₁ = a ₂ = l.0并将上式整理而得:

是一个只和d_l . d₂及重力加速度g有关的固定常数. 式( 6 -3-14 ）中没有计及水头损失。实际流体中存在水头损失，因而实际通过的流量必小于理论流量．为修正这一误差，可用文丘里流量系数μ值加以修正根据实验，它的值在 0.95～ 0. 98 之间，则

   

对于不同直径的文丘里流量计， k 可以根据管径 d₁ , d₂ 预先算得。量测时只需读出△h 就可计算流量。

如果 1 一 1 , 2 一 2 断面与水银压差计相连，如图 6-3-10 中管道下方所示（文丘里管中通过的是水），测得压差计液面高差为△，根据例 6-2-3 得到

试求断面 2 的压强.

【解】水流由 1 － 1 （水箱表面）流至虹吸管口然后在管道内经 2 － 2 断面到 3 － 3 断面流至大气中，虹吸管管径不变， d₂ = d₃ = 200mm . l － 1 断面为水箱自由表面，其面积远大于管道断面，故 1 － 1 断面流速非常小v₁ ≈ 0 。为了求出管中流速，可先取 1 － l 和 3 － 3 断面写能量方程，此时基准面可取为过 3 － 3 的水平面，取 a₂ = a₃ = 1.0 :

由上可知，虹吸管顶部相对压强为负值，即出现真空。若其绝对压强低于水的汽化压强时，水将汽化，形成许多气泡，这种现象称空化有可能使壁面遭到空蚀，所以应控制虹吸管顶高，防止形成过大的真空。

【 例 6-3-3 】 一离心式水泵（图 6-3-12 ）的抽水量 q = 20m³ ／ h 安装高度 h_s= 5.5m ，吸水管管径 d = 100mm ，吸水管总的水头损失 h_w = 0. 25m （水柱），试求水泵进口处的真空值 p_v  。

【 解 】 水流自 1 一 1 断面向下流至吸水管进口，然后沿吸水管流人水泵，我们讨论的就是这一段总流。

取水池水面为 1 一 l 断面，水泵进口断面为 2 一 2 断面，它们的计算点分别取在水池的自由液面与管轴上，将基准面 0 一 0选在水池的自由表面上，因水池面远大于管截面，故认为 v_l = 0 。取 a₂ = 1.0 。写能量方程，方程两边 p 按绝对压强计算：

 

六、恒定总流动量方程

由理论力学可知，质点系动量对时间的变化率 d／ dt 等于作用于该质点系的所有外力的矢量和。即

为了将此动量定理应用到恒定总流中，我们取图 6-3-13 所示的一段总流作为控制体。它是由断面 l 一 1 , 2 一 2 及两断面间的流体边界面所组成的控制面（封闭曲面）围成的。控制体内流体受到质量力。在控制面上有表面力的作用。由于是恒定流，控制体的形状并不随时间而变。经过 dt 时间，控制体运动到  一  的位置。 dt 时间内控制体内流体的动量变化为:

式中为 dt 时间内自 2 一 2 断面流出控制体的动量．为 dt 时间内自 1 一 l 断面流入控制体的动量。这样就将 dt 时间内控制体内的动量变化变成 dt 时间内由控制体流出的动量与流人的动量差。

设我们所取的断面 1 一 l , 2 一 2 为渐变流动断面，断面上各点速度方向大致相同，这样求总流断面上流人或流出动量时可以将相应元流的动量积分，得到如下式

式中β为动量修正系数它定义为实际动量和按平均流速计算的动量的比值，即

β=

它的大小由断面上流速分布的不均匀程度所决定。其实验值为 1.02 一1.05 。工程上一般取β= l.0已能满足精度要求。

式（ 6 -3-16 ）即为不可压缩流体恒定总流动量方程。为便于计算，写作投影式:

式中∑f_x ，∑f_y，∑f_z为作用于控制体的所有外力的矢量和在相应坐标轴上的投影. 或者说是作用于控制体的各外力在相应坐标轴上投影之代数和。v_2x，v_2y，v_2z为出口断面平均流速在相应坐标轴上的投影； v_1x 、v_1y、v_1z为进口断面平均流速在相应坐标轴上的投影。

【 例 6-3-4 】 管路中一水平放置的等截面输水弯管，直径 d 为 200mm ，弯角为   45°（图 6-3-14 ) ，管中 l 一 1 断面平均流速v₁为4m / s ，其形心处相对压强p₁为 l 个大气压，若不计管流的水头损失，求水流对弯管的作用力 r_x 与 r_y .