第三节　流动阻力和能量损失

大纲要求：沿程阻力损失和局部阻力损失；实际流体的两种状态-层流和紊流；圆管中层流运动；紊流运动的特征；减小阻力的措施。

在第二节中我们讨论了能量方程，但并未讨论能量方程中由于流动阻力所产生的能量损失．在第一节中曾经指出，水、空气等都是有粘性的，因而将产生流动阻力。流体在固体壁面的约束下流动，如管流或明渠流等称为内部流动，此时流体要流动就必须克服阻力做功，由此产生能量损失。流体绕固体流动或者说固体在流体中运动时，称为外部流动，如风吹过烟囱或颗粒在流体中上升或沉降，此时气流受到烟囱的阻力或者颗粒受到流体的阻力都是粘性阻力，称为绕流阻力。

本节主要讨论内部流动的能量损失及计算方法；对绕流阻力仅作简单介绍。

由于流动有层流和紊流两种流态，不同流态的能量损失的规律是不同的。所以下面还将讨论以上两种流态。

一、流动阻力和水头损失的分类-

根据流体流动的边界条件不同，流动阻力和水头损失可以分为两类。当流体受边界限制做均匀流动（如断面大小、流动方向沿程不变的管流）时，流动阻力中只有沿流程不变的摩擦阻力，称为沿程阻力或摩擦阻力，由于沿程阻力做功所引起的水头损失，称为沿程水头损失，以 h_f 表示。当流体经过边界急剧变化处，由于边界的改变引起断面流速的大小、方向、流速分布发生急剧变化，还有漩涡区的形成，这种集中发生在较短范围的阻力称为局部阻力，相应的水头损失称为局部水头损失，以 h_j 表示.

沿程水头损失的计算公式（达西公式） :

式中 l —— 管长．

d一一 管径．

v —一 断面平均流速；

γ—― 沿程阻力系数.

局部水头损失的计算公式

式中——局部阻力系数。

二、实际流体的两种流态 ― 层流和紊流-

（一）雷诺实验

雷诺1883年曾经以图 6-4-1 的装置来进行实验，揭示了两种流态不同的本质并确定圆管流态的判别数。

打开玻璃管的调节阀，玻璃管中水开始流动再打开颜色液的小阀，颜色水将进人玻璃管，与水一起流动．当管中平均流速v较小时，颜色液呈一直线状（如图 6-4-1 中 a ) , 与周围清水互不掺混，这种有规则的分层流动被称为层流。随着v的增大，颜色液将产生波动，直到某一数值，颜色液扩散到清水中，不复再见（见图 6-4-1 中 b）。这时，两者已互相掺混，每个流体质点的轨迹是十分混乱的，这种流态被称作紊流。此时若再将流速减小，必须减小到比前一临界值更小的数值，流态才会转变为层流。层流和紊流由于两者内部结构不同，能量损失的规律也不同。由实验得到：等径直管上下游断面间的水头损失，层流时与断面平均流速的一次方成正比，即 h_f  v^1.0 ;紊流时则与流速的 1 .75 – 2.0次方成正比，h_f  v^{1.75- 2.0}。

（二）层流和紊流的判别数 ― 雷诺数

由于层流和紊流水头损失的规律不同，在计算水头损失前，必须判别流态。流态的确定除了与流速的大小有关外，还与管径和流休的粘性有关。因此采用综合性的雷诺数 r_e作为判别流态的无量纲数。

式中 υ、 d 、ν分别为流速，管径和流体的运动黏性系数。

实验证明，由紊流转变到层流的下临界雷诺数是相当稳定的 re_c = 2000 。而从层流转变到紊流的上临界雷诺数 r_ec'却与实验环境的扰动的大小有关，自 4000 - 2 0000 之间变化，所以取 re_c 作为判别的依据。re ≤ 2000是层流状态。 re > 2300 /2000可以认为是紊流状态。

对于非圆管中的流动，雷诺数计算中特征长度 d 可以用水力半径 r 或当量直径 d _当来代替

式中 a ― 过流断而面积；

x 一湿周，指过流断面上与流体相接触的那部分固体边界的长度

【 例 6-4-1】  内径 d = 6mm 的水管，水温 20 ℃ ，管中流量为 0 021 / s ，试判别流态 . 若管中通过的是v = 2. 2×10^{- 6} m² ／ s 的油，流量仍为 0.021 / s ，流态如何？

 

三、圆管中的层流运动-

（一）均匀流动方程式

取一段等直径圆管中的恒定均匀流来讨论，见图 6-4-2 。均匀流动中的能量损失只有沿程不变的切应力产生的沿程损失，用 h_f表示。

对 l 一 1 和 2 一 2 断面写能量方程：

再取 1 一 1 和 2 一 2 断面之间的流体写出动量方程:

式中， a 为圆管断面面积， χ为断面上流体与固体壁面相接触的周界长度。

将 lcosθ= z₁ 一z₂ 代入上式并将各项除以ρga得

式中 j 为水力坡度。见式（ 6-3-9 ）。

式（ 6-4-6 ）或式（ 6-4-7 ）给出了沿程水头损失与切应力的关系，即为均匀流动方程式。

以上是取半径为r₀的流段来讨论的，其边界上的切应力为 τ₀ ，若取半径为 r 的流段，边界上的切应力为 τ，同上可有

说明在圆管均匀流的过流断面上，切应力呈直线分布，管壁处切应力最大为τ₀，管轴处切应力为零

 

 

（二）圆管中的层流运动-

对于圆管将dy改为 dr ，又因 du 与 dr符号相反，将上式改写为

与式（ 6-4-8 ）联立可得:

从以上的推导得出的结论是:圆管中的层流，断面上流速分布是旋转抛物面。平均流速是最大流速的一半.

式中γ― 沿程阻力系数.

所以，从圆管中层流的推导得到的又一个重要结论是：圆管中层流的水头损失只与雷诺数有关，而与管壁条件无关。且水头损失与流速的一次方成正比。

 

四、紊流运动的特征

紊流中，流体质点在运动中不断互相混杂，使各点的流速、压强等运动要素都随时间作无规则的变化，这种变化称为脉动现象。图 6-4-3 表示紊流中某点x方向速度 u_x 随时间 t 变化的曲线。同样也可测出该点u_y、u_z和 p 随时间的变化曲线。看起来这种变化迅速而无规律，使对紊流的研究十分困难。但经深人分析可知，这种脉动是围绕某一平均值而变化的这样，可以将紊流看作两个流动的叠加。即时间平均流动和脉动的叠加。某点在某一瞬时x方向的速度 u_x 就等于时间平均速度和该瞬时脉动流速_x的代数和。即

 

    引人时间平均流动的概念后，尽管紊流实质上是极无规则的非恒定流，但只要它的时均值是一常数就可以将它看成恒定流。或者它的时均值随时间遵循某一规律变化，就可看作是随时间遵循某一规律变化的非恒定流（如水箱中水无补给时，经水箱孔口的出流） , 而且前面提到的概念，如流线、断面平均流速等等对于时间平均流动仍可照常应用。但对于紊流的切应力、紊流扩散等问题的研究却必须考虑紊流的脉动.

紊流中的切应力除了由于黏性所产生的切应力外，由于质点互相掺混、动量的交换，还存在着紊流的附加切应力，又称为雷诺应力。

τt为紊流附加切应力即雷诺应力。经分析可得：τt =   但等脉动流速难以求出。为了找到由于脉动所引起的紊流附加应力与时均流速的关系，普朗特提出半经验的混合长度理论，推导出：

式中 l ― 混合长度，流体质点因横向脉动流速作用，横向运动一段距离后，才与周围质点进行动量交换．混合长度即与此距离有关。

一 时均流速梯度.

当雷诺数较小时，以黏性切应力τv为主。随 re 的增加，紊流附加切应力τ_t在τ中的分量逐渐增大，至雷诺数相当大时，粘性切应力甚至可以忽略不计。

由紊流的半经验理论可以得到沿边界法线方向的流速分布为对数函数

式中，直接反映边界上的切应力τ₀，因具有速度的量纲，故称为剪切速度；y为离圆管壁的距离；k 为卡门通用常数；c由边界条件确定.为积分常数。

紊流的流速分布，靠近固体边界处与核心区域是不同的。紧贴边界的流体质点流速为零，近边界处流速显著减小，在边界附近存在着很薄的黏性底层。在黏性底层内流速分布可作为直线分布。而紊流核心区域内由于质点相互掺混和动量交换，使速度趋于平均化。此外依据试验资料还提出了紊流流速分布的指数公式：如在re = 1.1×10⁵时

式中 r₀ 为圆管半径． y 为流速为 u 的点至壁面的距离。-了解一下就可以了。

黏性底层的厚度随 re的增大而减小，它虽然很薄，但对能量损失影响很大.

五、沿程水头损失

流体作均匀流动时，切应力沿程不变，单位长度的能量损失相等，这种损失称为沿程损失，它的大小与长度成正比，用 h_f 表示。式（ 6-4-6 ）已说明了切应力和沿程水头损失的关系。该式不仅适用于层流也同样适用于紊流。对于圆管中的层流，通过理论分析，我们已得到了沿程水头损失的计算公式即式（ 6-4-13 ) ，对于紊流，由于完全由理论分析难以求出沿程水头损失的公式。我们借助于因次分析，同样可以得到同一形式的沿程水头损失的计算公式:

这里只是λ有所不同。式 (6-4-18 ）是管流的通用公式.

与层流不同的是λ为雷诺数及管壁相对粗糙度△/d 的函数。△为管壁上的粗糙突起高度。对于紊流，无法像对圆管中的层流一样推导出λ，只能依靠实验研究。最初由尼古拉兹在实验室中对人工粗糙管（即管壁均匀地黏上一定粒径的沙子的圆管）测出λ与 re和△/ d 的变化规律。以后许多人又做了矩形渠道和工业管道的实验，总结出不少经验公式其中考尔布鲁克公式(柯列勃洛克公式)

了解这个公式就行了

是根据大量工业管道的试验资料提出的。为了简化计算，莫迪在此公式基础上绘成曲线（图 6-4-4 ）称莫迪图。从莫迪图中可以看到：其中横坐标和纵坐标都是按对数分格的，称为双对数格纸，这样画出来的λ- re曲线图形即为 1gλ一 1gre的曲线图形。按图中曲线可分为五个阻力区，不同区阻力系数的规律不同.

1 层流区： re ≤2300 时,各种不同相对粗糙度的管道的沿程阻力系数λ=  . 这个结果与前面理论推导完全一致，即λ仅与 re有关.

2 临界区（层流一紊流的过渡区） : 2300 < re < 4000 。此区域由于数值不稳定，研究较少．图中仅用斜线表示。

3 光滑区：图中表示为左下方的包络线。在此区内由于粗糙突起高度被黏性底层所覆盖，对阻力系数λ没有影响，λ仍仅与 re有关。

4 紊流过渡区：图中表示为光滑管区至虚线之间的区域。随 re的增大，黏性底层厚度减小，粗糙突起高度开始发生影响。在该区内λ与 re 及 △ ／ d 都有关系。λ= f（ re ， △ ／d）.

5 粗糙区（阻力平方区）：图中虚线以右的部分。曲线呈水平线，即λ仅与 △ ／ d 有关，与 re 没有关系。因为此时黏性底层已减小到即使 re再增大也不能对流动阻力有什么影响了。

使用莫迪曲线求沿程阻力系数十分简便，查图的精度基本上能满足工程上的需要。图中的 △ 并非简单的粗糙突起高度，而是工业管道的当量粗糙度，即是指和工业管道同直径，且在紊流粗糙区人值相等的人工粗糙管的粗糙突起高度。常用管材的当量粗糙度见表 6-4-1 。

【 例 6-4-2 】 新铸铁管，长 500m ，内径为 150mm ，所输水的温度为 10 ℃ ，流量为 40l / s 。求水头损失

【 解】水温 10 ℃ 由表 6-1-2 查得水的黏性系数，v = 1. 308 × 10^-6m²／ s .

新铸铁管，查表 得 △ = 0. 25 ～0.4mm ，取 △ = 0. 3mm

由 re和△ ／ d在图 6-4-4 莫迪图上查得λ= 0.0 242 （曲线 △ ／ d = 0.002 与竖线 re = 2.6 ×10⁵的交点的λ值），在紊流过渡区内．

除查莫迪图求λ外，也可用经验或半经验公式计算。上述式（ 6-4-19 ）是紊流过渡区的公式，也可适用于光滑区和粗糙区，但计算很不方便。与它相近的下面两个公式也同样适用于整个紊流各区，计算则较为简便。

以上公式均为有关管流沿程水头损失的公式。对于明渠水流，式（ 6 -4-18 ）中的 d 用当量直径d_当 [ 见式（ 6-4-4 ）式（ 6-4-5 } ］代替，也可适用但习惯上采用另一公式：

式中 v为断面平均流速; r为断面的水力半径 [r = 式（ 6-4-4） 〕 ；j为水力坡度。c为谢才系数，为一个具有量纲的系数。式（ 6-4-22 ）称为谢才公式.x为湿周。

在紊流粗糙区，谢才系数可直接由经验公式算出:

式中   r ― 水力半径，以米（ m ）计.

n ― 糙率，综合反映壁面粗糙情况的无量纲数，见表 6-4-2 .

六、局部水头损失

局部水头损失按式（ 6-4-2 ）（截塔）计算，关键在于确定局部阻力系数ζ.从理论上讲 ζ 应与局部阻碍处的雷诺数 re和边界情况有关。但因受局部阻碍的强烈干扰，局部阻碍处的流动在较小的雷诺数时就已进入粗糙区，所以一般可以认为ζ只决定于局部阻碍的形状，与  r e无关。局部阻碍的形式繁多，流动现象极其复杂，局部阻力系数多由实验确定。表 6- 4-3 中列出了常见的几种局部阻力系数ζ值。

其他各种局部阻力系数可查阅有关水力计算手册。

【 例6-4-3 】 水流经虹吸管从 a 水池流人 b 水池，如图 6-4-5 所示，管径 d =100mm ，管长 l = 30m ，管材为镀锌钢管 △ = 0. 3mm ，ζ弯 = 0. 75 ，两水池水面差为 4m 。求通过虹吸管的流量．（水温为 15 ℃ ）

【 解 】 取两水面分别为 l 一 1 和 2 一 2 断面，写能量方程

h + 0 + 0 = 0 + 0 + 0 ＋ h_w

因 re 不知，虽已知 △ ／ d =  = 0.03 仍不能确定λ值，所以先假设λ= 0.025 .由表 6-4-3 查得ζ_进 = 0. 5  ζ_出 = 1.0 ,

解得v ＝ 2 .733 m/ s

验算λ假定是否正确：由表 6-1-2 查得v = 1. 14l × 10^-6 m ²/ s ,

七、减小阻力的措施

较小阻力的措施：在物理方面，改善边壁的的粗糙度，用柔性边壁代替刚性边壁，用渐变段代替突变段；尽量采用流线型、圆角形等平顺的管道进口；对弯管，尽量减少转角，增加△ ／ d以及两个局部阻碍之间的合理衔接等，在化学方面，在流体内投加极少量的添加剂，使其影响流体运动的内部结构来实现减阻，如高分子聚合物减阻等。

八、边界层基本概念和绕流阻力

（一）边界层的基本概念

在黏性流体绕固体的流动中，当雷诺数相当大时，紧贴固体表面的流体与壁面之间没有相对运动。稍微离开壁面的流体层受其影响速度也较小．在壁面的外法线方向上流体的流速由零开始迅速增大，在壁面附近形成了一层流速梯度很大的区域，称为边界层。在边界层中，黏性力是不能忽略的。而在边界层外则可以看作是理想流体的流动。一般情况下边界层是很薄的，黏性作用被限制在一薄层中，比较容易得到解决．边界层以外的广大区域中的流动又可按理想流体流动来求解。这样就简化了复杂的黏性流体流动，推动了流体力学的发展。

图 6-4-6 表示了二元平板绕流的边界层。板上游为均匀来流，流速为 u 与平板平行。可以看到：边界层厚度ζ是沿流发展的，在板端为零，随后沿流逐渐增加。边界层与主流实际上并没有明显分界，通常规定速度到达0.99 以外为边界层的外缘。在雷诺数较高时，边界层是很薄的，一般远小于被绕流物体的特征长度。因此沿壁面法线方向速度梯度很大，必须考虑流体的粘性。但压强沿壁面法线方向可以认为是不变的。边界层也有层流和紊流之分如图 6-4-6 所示，在平板的前段是层流状态，随着 re_x = 的增加，层流边界层将逐渐过渡到紊流状态对于光滑平板，临界雷诺数 re _x = 3 × 10⁵ 一 3 ×l0⁶ ．即使在紊流边界层内，近壁处仍有一黏性底层

（二）边界层的分离现象

上述平板边界层不出现边界层与壁面脱离的分离现象。但当黏性流体绕过弯曲壁面时，在逆压梯度（＞0）的情况下，边界层流动速度减小.。在黏性摩擦力和反向压差的双重作用下，边界层厚度增长更快，近壁流速愈小，最后导致近壁处流向改变在下游出现近壁的回流，使边界层脱离壁面，见图 6-4-7 。边界层与壁面开始分离的点称为分离点。过分离点后的回流称为尾流，常伴随着漩涡。

边界层的分离和漩涡区的存在是造成局部损失的主要原因。因为漩涡区的存在大大增加了紊流的紊动程度；漩涡区压缩了主流的过流断面，引起过流断面上流速重新分布，流速梯度增大了，也就增大了流层间的切应力；漩涡区内部不断消耗的能量，也是来自主流，同时下游一定范围的紊流脉动也将加剧，从而加大了这段长度上的水头损失。

（三）绕流阻力

在外部流动中，黏性流体绕物体流动或物体在流体中运动，物体受到的阻力称为绕流阻力。绕流阻力可分为摩擦阻力和压差阻力。摩擦阻力是作用在物体表面上的切应力在来流方向的总和。压差阻力是物面上压应力的合力在来流方向的分量。主要是由于边界层分离后尾流区压强降低引起上游面和下游面的压差形成的。所以压差阻力由物面形状决定，也称形状阻力。

各种形状物体的绕流阻力 d 由下式确定：

式中   a 为绕流物体在垂直于来流速度方向的最大投影面积；ρ为流体密度；u₀为来流

速度（相对于绕流物体的速度）；c_d为绕流阻力系数，圆柱和球的阻力系数见图 6-4-8.

   

【 例6-4-4 】 圆柱形烟囱高 l = 30m ，直径 d = 1.2m ，水平风速u₀ = 12m / s .空气ρ=  1.2kg ／m³，v = 15×10^-6m² / s . 求烟囱所受风的推力。

查图 6-4-8 ( b ）得 c_d =  0.30