第六节  渗流、井和集水廊道

大纲要求：土壤的渗流特性，达西定律；井和集水廊道。

一、概述

流体在孔隙介质中的流动称为渗流，流体主要是水、石油、天然气等，孔隙介质是指土、岩石等各类的多孔介质和裂隙介质。在土建工程中，渗流主要是指水在地表以下土和岩层中的流动，所以渗流又称地下水流动。

渗流理论除了应用于水利、石油、地质等部门外，土建方面有：地下水是给水的水源之一，它涉及到水井涌水量和集水廊道等设计和计算；在排灌工程中地下水的变动、渠道的渗漏及坝的稳定等问题；在建筑施工中需要确定围堰或基坑排水量和水位降低等问题。水在岩层和土孔隙中存在的状态有：汽态水、附着水、薄膜水、毛细水和重力水。重力水在介质中运动是受重力作用的结果。本节研究的对象是重力水的运动规律。

地下水的运动除与水的物理性质有关外，岩土的特性对水的渗透性质有很大的影响。一般可将岩土分类为：

(一)均质岩土  渗透性质与渗流空间的位置无关。均质岩土又分成：(1)各向同性岩土，其渗透性质与渗流的方向无关，例如沙土。(2)各向异性岩土，渗透性质与渗流方向有关，例如黄土、沉积岩等。

(二)非均质岩土  渗透性质与渗流场空间点位置有关。

下面讨论以均质各向同性岩土中的重力水的恒定流

二、渗流的达西定律

达西在1856年对具有矩形横截面、中间装满砂的容器中水流进行实验研究(图6-7—1)，得到渗流基本定律。渗流区为匀质柱形，过流断面面积为a,两过流断面间距离为l，其间损失为h_w ，流过过流断面的流量为q，则有

渗流试验装置

q=kaj

或v=kj ，均匀流是u=kj，上式即为达西定律。

式中为水力坡度；v为断面平均流速，u为断面上的点速度。

其中k 称为渗流系数单位与速度单位速度相同为m/s，由于渗流速度一般较小， k也用cm/s，m/h等单位，反应了土壤的渗透能力。

达西定律适用范围：达西定律适用于雷诺数re=1~10的渗流。

（二）渗透系数

渗流系数k是达西公式中的重要参数。k值的确定关系到渗流计算的精确性。该值的大小取决于多孔介质本身粒径大小、形状、分布情况以及水的温度等，因此要准确地确定其数值是比较困难的。以下简述测量方法和常见土的有关参数值。

1．经验公式法  这一方法根据土颗粒粒径大小、形状、结构、孔隙率和水温等参数所组成的经验公式来估算渗流系数k。这类公式很多，这里不作介绍。

2．实验室方法  这一方法是在实验室利用实验装置，并通过v=kj计算k。

3．现场方法  在现场利用钻井或原有井作抽水或灌水，根据井的公式[见后面四单井(一)段中式(b)]计算k。

作近似计算时，可采用表6-7—1中的k值。

三、集水廊道

该公式是将达西定律推广到渐变流的渗流公式。

（二）集水廊道

集水廊道是建于地下用来汲水或降低地下水位的水平廊道，由于长度很长，可以忽略两端的影响，而看成是沿轴线方向各断面流动无变化的二维（或称平面）渗流流动。图6-7-2所示，不透水层顶部(或含水层底板)水平。地下水面(包括无压水的自由表面及有压水的测压管水头面)在集水廊道未排水或抽水前的水面称地下水天然水面，排入后到达恒定状态的水面称动水面，动水面的水面线也叫浸润曲线。还假定集水廊道开挖到不透水层，于是集水廊道底面不进水。

图6-7-2

将裘布依公式带入连续方程得到；

设        为集水廊道单位长度上自一侧渗入的单宽流量（b为集水廊道宽度），并考虑到在xoz坐标系中，流线s与x坐标相反，则上式可以写成：

 

x为计算点到廊道侧边的距离，将上式分离变量并积分

 

 

得到集水廊道单侧单宽渗流量为：

式中，l称为影响范围，在x≥l的地区天然地下水不受廊道的影响，h为天然地下水位，即含水层厚度；h为廊道中水深。从公式可知：渗流量与渗透系数成正比，并随含水层的厚度增加而增大，随廊道内水深增加而减小。

四、单井

在具有自由水面的潜水含水层中所开的井称为普通井，井底直达不透水层者称为完全井。未抽水前，井中水面与含水层水面平齐，抽水时井内及其四周的水面下降。若周围是各向同性的匀质土壤，抽水量恒定，则形成的水面为以井轴线为轴的轴对称漏斗形曲面，称为浸润曲面。如图所示。

图 普通完全井

  若流量为q，土壤渗透系数为k，,井中水深为h0，井半径为r0，则随半径r的变化，浸润的位置高度z符合下面的方程

 

 

此方程为浸润曲线方程，用于确定沿径向方向的水深分布。当r=r时，h=h，带入上式，可得井的渗流量

 

 

 

式中，r称为井的影响半径，可有抽水试验确定，近似计算时可用经验公式

 

估算，式中s=h-ho,为井中水位降深，以m计，k为土壤渗透系数。

第七节  相似原理和量纲分析

首先看大纲要求：力学相似原理；相似准则，量纲分析法

在实践中，许多流体流动问题，不是仅靠理论分析就能完全解决的。还需要采用其他分析途径和实验方法来求解。实验通常是在缩小了的模型上，预演或重演原型的流动现象；得到模型实验成果后，还要将其推广于原型。这只有在模型流动与原型流动相似的条件下才有可能。所以我们需要研究相似原理和量纲分析以指导实验。

一、相似的基本概念

要使模型和原型流动相似，如两个流动的对应点上的同名物理量 〔 流速、压强和各种力）具有一定的比例关系，就要求模型和原型之间具有几何相似、运动相似和动力相似。

（一）几何相似  要求原型和模型的长度比尺一定。各对应长度具有同一长度比尺λ_{l .}

式中λ_l为长度比尺； l_p为原型长度； l_m为与其相对应的模型长度．相应的面积和体积比尺为

   

而且相应的夹角也相等。

（二）运动相似  指流体运动的速度场相似。也就是指原型流动与模型流动两个流场各对应点的速度u方向相同，大小具有同一速度比尺.

因速度是单位时间的位移，故相应点的流体质点流经相应的流程所需的时间应具有同一时间比尺。

   

    由λ_t和λ_l又可得出速度比尺有下列关系

   

（三）动力相似  原型和模型两流动各相应点流体质点所受的同名力方向相同，大小应具有同一比尺，即力的比尺一定。

动力相似条件可以写为

式中f_p、f_g、f_v、 f_i 分别表示压力、重力、黏性力和惯性力。

因 f = ma = ρva 故λ_f与其他比尺的关系如下

以上这三种相似是相联系的：几何相似是运动相似和动力相似的前提和依据，动力相似是决定两个流动运动相似的主导因素，运动相似是儿何相似和动力相似的结果。

二、相似准则

（一）雷诺准则  黏性力为主的动力相似

作用力是由黏性力引起的阻力和惯性力。如潜水艇在深水下潜航；飞机在空中飞行速度较慢，可以不考虑空气的压缩性时；又如管道中的液流等。由式（ 6-8-1 ）动力相似条件有

则动力相似条件为

故当黏性力为主要作用力时，要动力相似必须原型和模型的雷诺数相等。此条件称为雷诺准则。

（二）佛劳德准则  重力为主的动力相似

如河渠中的水流，堰上水流、孔口出流等等。由式（ 6-8-1 ）有

则重力相似条件为

被称为佛劳（汝）德数 fr ，但目前多取它的平方根作为佛劳德数即

故当重力为主要作用力时，要动力相似必须原型和模型的佛老德数相等。此条件称为佛劳德准则。

（三）欧拉准则  压力为主要作用力的动力相似。由式（ 6-8-1 ）有

则动力相似条件为

令称为欧拉数，则式（ 6- 8-5）可写为

当压力为主要作用力时，要求原型和模型的欧拉数必须相等，才能满足动力相似条件。这就是欧拉准则。

（四）表面张力相似准则

要保证原、模型任意对应表面张力相似，则由表面张力相似要求有

其中，                为表面张力比尺，   为液体的表面张力系数，

 

 

 

上式也可以写成

 

 

或（w_e）_n=（w_e）_m

式中              称为韦伯数，即原型与模型的韦伯数相等，这就是韦伯数准则。

除以上准则外，还有以弹性力为主（考虑流体的可压缩性）的马赫准则等等，.

【 例 6-8-1】  水平管道中的水流（ 0 ℃ ），平均流速为 3m / s ，管径 75mm , 12m 长的管道上，压强差为 14kpa ，现在用直径为25 mm 的水平管做模型，管中流动的是汽油 ( 20 ℃ ）, v_m  = 0.006cm²/ s ，ρ_m = 670kg ／m²（ a ）求模型流速应为多少？ ( b ）求 6m 长模型管的压强差是多少?

【 解 】 有压管路流动，以阻力为主，用雷诺准则-

( 2 ）求压强差用欧拉准则

取水的密度ρ_p  = 1000 kg/m³

4m 长模型管道上的压强差为 9.415kpa , 则 6m 长模型管上的压强差为:

三、量纲分析

量纲分析方法是根据量纲和谐原理来推求各物理量之间的关系的方法.

（一）物理方程的量纲和谐原理

量纲标志了不同性质物理量的类别，而单位则是量度各物理量数值大小的标准。如长度是量纲，而米、厘米、毫米等单位均属长度这一量纲。具有独立性的，不能从其他量纲导出的称为基本量纲．在流体力学中常采用长度［ l 〕 、时间 〔 t ］、质量［m］作为基本量纲。其他物理量的量纲可以由基本量纲导出，称为导出量纲．常见的物理量的量纲如下（除了基本量纲） :

凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项量纲都必须是一致的．或者说物理方程等号两边量纲必然相等。这就是量纲和谐原理既然物理方程具有量纲和谐性，必然可以写成无量纲形式，量纲分析法中就常常组成无量纲方程的形式.

（二）量纲分析法

根据量纲和谐原理，分析物理量之间的关系，推导和验证新方程的过程称为量纲分析。基本的分析方

法有两种：雷利法和π定理法

1 雷利法  直接应用量纲和谐原理进行量纲分析。

【例6-8-2】  试应用雷利的量纲分析方法推求圆柱体绕流的阻力d的表达式。已知圆柱直径为d，来流流速为uo，流体密度为ρ，流体的动力黏性系数为μ。

【解】 (1)  与d有关的物理量为d、uo、ρ、μ，它们之间存在着函数关系：d = f (d，uo，ρ，μ)

(2)  将阻力d写成d、uo，ρ，μ的指数乘积形式：

(3)  将上式写出量纲形式

(4)  根据量纲和谐原理，方程两边量纲相等，写出求各未知指数的方程，并求解；

以上3个方程有4个未知数，不可能全部解出，保留δ，用它表示其余指数α、β、γ得

(5)  阻力公式的形式  将求得的指数代人指数乘积形式的阻力公式中，有

雷利法对于物理量个数n≤4～5的情况是方便的，否则，指数难以确定。

2．应用π定理进行量纲分析

量纲分析法的更为普遍的理论是著名的π定理，它的基本内容可概括为：任何一个物理过程，如包含有n个物理量，涉及到m个基本量纲，则这个物理过程可由n个物理量组成的(n一m)个无量纲量所表达的关系式来描述．因这些无量纲量用x来表示，就把这个定理称为π定理。

设影响物理过程的n个物理量为x₁，x₂，……x_n 则这个物理过程可用一完整的函数关系式f (x₁，x₂，……x_n ) = 0来表示。设这些物理量包含有m个基本量纲，则可将n个物理量组成n一m个x，该物理过程可表示为