第三节  数字信号

一、 《 考试大纲 》 的规定

数字信号的逻辑编码与逻辑演算；数字信号的数值编码与数值运算。

 

二、重点内容

1 ．数字信号的数值编码

数字信号是二进制数字符号“ 0 ”和“ 1 ”的物理实现形式，用它来表示数值并进行数值运算，就必须采取二进制形式表示数。二进制数的位按从右向左的顺序排列，分别记为第0位，第 1 位，第 2 位， … … 。最右边的位称为最低位，记为 lsb （ list significant bit ） ；最左边的位称为最高位，记为 msb （ most significant bit ）。每一位称为一个比特 （ bit ） ，二进制数的每一位对应于数字信号的一个脉动位置，故一个 n bit 的二进制数可以用一个 n bit 的数字信号来表示。

在数字系统中，通常以 4bit 代码为基本单元来编码数，基本单元组可以表示 2⁴＝16 个数，故从技术的角度，以 16 为基数按十六进制来表示数较为合理，所以计算机技术中使用十六进制数或十六进制代码进行数的运算和信息的处理。表 7－3－1 列出的是二进制、十进制、十六进制数的对照表，为便于区别，在十六进制数代码后面加上一个字母 h 作为标记。

二进制数、十进制数、十六进制数，以及八进制数等，统称 r 进制数。 r 进制数需注意的是： ① r 进制数中的最大数符为 r－1 ，而不是 r ； ② 每一数符只能用一个字符来表示。不同计数制之间的转换，具体如下：

 

（ 1 ） r 进制数转换为十进制数

基数为r的数字，在将其转换为十进制数时，只要将各位数字与它的位权相乘的积相加，其和数就是十进制数。如下列：

二进制数（ 1101101 . 01 ） ₂ 转换为十进制数，则：

 

（ 2 ）十进制数转换为 r 进制数

将十进制数转换为基数为 r 的等效数值，可将此十进制数分成整数和小数两部分分别进行各自的转换，然后再拼接起来即可。对于十进制数的整数部分，采用“除 r 记余”法，即用十进制数的整数连续地除以 r ，其余数即为 r 进制的各位系数。如下列：

对于十进制数的小数部分，可采用“乘 取整”法，即小数部分连续地乘以r，直到小数部分为0或达到所要求的精度为止（小数部分可能永不会为0 ） ，得到的整数即组成 r 进制的小数部分。如下例：

所以，（ 0.125 ） ₁₀＝ （ 0.001 ）₂

需注意的是，十进制小数常常不能完整准确地转换成等值的二进制小数（或其他 r 进制数），通常会有转换误差存在。

将十进制数 17.125 转换成二进制数，即为： （ 17.125 ） ₁₀＝ （ 1001 . 001 ） ₂

同理，将十进制数 987 转换成十六进制，如下：

所以， （ 987 ） ₁₀＝（ 3db ） ₁₆

（ 3 ）二、八、十六进制数之间的转换

由于二、八、十六进制数的权之间有内在的联系，即 2³＝8 , 2⁴＝16 ，即每位八进制数相当于三位二进制数，每位十六进制数相当于四位二进制数，反之亦然。在转换时，位组的划分是以小数点为中心向左、右两边分别进行，中间的0不能省略，两头不够时可以补0。

如下例：将（ 10110001 . 00101 ） ₂ 转换为十六进制数，则：

将（ 3 afb . 4b ） ₁₆ 转换为二进制数，则：

同样，将（10101001 . 00101 ） 2 转换为八进制数，则：

所以， （ 10101001 . 00101 ） 2＝（ 251 . 12 ） 8

将（ 2 6 . 53 ） 8 转换成二进制数，则：

所以， （ 26 . 53 ） 8 = （ 10110 . 101011 ） 2

2 ．数字信号的数值运算

除了进位规则不同外，二进制数的算术运算法则与十进制数相同。

（ 1 ）加法，它是以最低位开始逐位完成两数相加和进位操作。

（ 2 ）减法，先引人反码、补码的概念，反码是一个二进制数按位取反，即变 1 , 1 变0。后组成的代码。如数 1010的反码是 0101 ；补码是一个数的反码加 1 后所得的代码。如数 1010 的反码是 0101 ，其补码为：0101 + 1 ＝0110 。补码原理是：一个数和另一个数相加等于零，则这个数和另一个数的大小相等符号相反，则其中一个数的代码就是另一个数的补码。如数 1010与它的补码 0110 之和： 1010＋ 0110＝（1） 0000 ，舍去进位后正好是 0 。

因此，在二进制数减法运算中，将减法运算转化为被减数代码和减数补码之间的加法运算。

此外，为了区分正数和负数，在计算机系统内，把二进制代码的最高位作为符号位，0 表示正数， 1 表示负数。由此，一组 4bit 代码所能表示的正数、负数如表 7－ 3－2 所示。

 

（ 3 ）乘法，二进制的乘法也是从右向左逐位操作的，如图 7－3－1 （ a ）所示。从图 7 －3－1 （a）可发现：它实际上是由一系列“移动”和“相加”操作组成，即被乘数逐步左移并逐步相加即可完成乘法计算。

（ 4 ）除法，二进制数除法运算也是从左向右操作的，如图 7— 3 —1 （ b ）所示。

从图 7—3 —1 （ b ）可发现：它实际上是由一系列“移动”和“相减”操作组成，即以被除数逐步右移并逐步与被减数相减的方式完成除法运算。可见，二进制数的运算都可以用它的代码“移位”和“”（相减转换为补码后相加）两种操作来实现。

由此，它们可以用数字信号的“移位”和数字信号的“相加”操作由移位寄存器电路来实现，实现。

3．数字信号的逻辑编码和逻辑运算

在逻辑体系中，对逻辑命题只做“真”或“假”、“是”或“非”、“有”和“无”等的简单判断，即逻辑命题只取两个值，用代码形式可表示为“0”或“ 1 ”两种状态。对逻辑函数则只做“与”、“或”、“非”三种基本的运算。数字逻辑体系是指用数字信号表示并采用数字信号处理方法实现演算的一种逻辑体系。数字逻辑是二值的，即“0”“ l ”表示逻辑变量的取值， " 0”表示“假” （ f ） ; " 1 " 表示“真” （ t）。逻辑运算法则，它表述的是一些逻辑等价关系。在逻辑问题中，两个真值完全相同的逻辑命题或表达或相互等价。常用的等价关系见表 7－3－3 。表中，反演率也称为摩根定理。逻辑函数的化简，其目的是简化其表达式，凸显其内在逻辑关系，并简化逻辑运算电路的组成。但是，在逻辑运算电路中要考虑逻辑系统组建的技术因素，故逻辑表达式的简化形式并非“越简越好”。

当用数字信号表示逻辑变化的取值情况，逻辑函数的演算即可以通过数字信号处理的方法来实现。在数字系统中，使用专门制作的各种逻辑门电路来自动地完成数字信号之间按位的逻辑运算，并将这些基本的逻辑门电路组合起来组建成组合逻辑系统，就可以完成任意复杂的逻辑函数的运算。

4 ．模一数（ a / d ）转换和数一模（ d / a ）转换

（ 1 ）模一数（ a / d ）转换

a / d 转换是对采样信号进行幅值量化处理，即用二进制代码来表示采样瞬间信号的值，也即用“0”、“ 1 ”代码对采样信号的值进行编码，从而将采样信号进一步转换为数字信号。可见， a / d 转换是对模拟信号进行编码，变为数字信号。由于系统误差和外界干扰的影响， a / d 转换中会产生测量误差。如一个 8 位的逐次比较型 a / d 转换器组成一个5v量程的直流数字电压表，该直流数字电压表存在一个字的误差，即一个量化单位的误差。一个 8 位逐次比较型 a / d 转换器可以完成 255 （ 2⁸一 l ） 个阶梯形逐次增长的电压，并与被测电压进行比较。而 5v 量程，则需经过 255 次的比较才完成对 5v 电压的测量，所以，每一个阶梯的电压值即一个量化单位为：

所以它的一个字的误差为19.61mv ，相应的满量程测量精度为： 19.6078mv / 5v = 0. 392 ％。

（2）数一模（d / a ）转换 d / a 转换

则是对数字信号进行解码，将数字信号转换为模拟信号。从工程技术的角度， d / a 转换只需用简单的电阻网络即可实现。

6.逻辑函数 f＝ab + a＋b 简化结果为（c）。

a . a + ；

b . a ；

c . a + b；

d . ab