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(二)光的衍射

1.惠更斯-菲涅耳原理

菲涅耳在惠更斯原理的基础上进一步假定,从同一波阵面上各点所发出的子波,经传播而在空间某点相遇时,也可相互叠加而产生干涉现象。这个经过发展了的惠更斯原理称为惠更斯一菲涅耳原理。它指出在衍射波场中出现衍射条纹的明暗,实质上是子波干涉的结果。

2.单缝衍射

如图8，ab为单缝截面，其宽度为a, 在紧靠单缝处放置一透镜，在透镜的焦平面上放置一光屏。波长为λ的单色平行光垂直入射到单缝上，由不同子波波源发出的传播方向相同的衍射光线，经过透镜后会聚于光屏上，相互叠加产生干涉。若满足相互加强，则在屏上出现明条纹；若相互消弱，则形成暗条纹，这种衍射称为弗朗禾费衍射。

(1)屏上出现衍射明、暗条纹的条件

透镜是为了将不同的衍射角的各组平行光线会聚在屏上的不同处。光通过透镜不会引起附加的光程差,于是会聚处是明是暗只决定于对应的平行光束中各衍射光线间的相互干涉情况。这类问题可用"波带"法来解决。

所谓"波带"是将波阵面 (即宽度为α的单缝平面)分成若干个等分的发光带,而相邻两个发光带对应位置发出的光，其光程差为λ/2, 这样被等分成的每一个发光带称为一个"半波带"。如图9所示,平行光到达宽度为α的单缝ab,其中衍射角为φ的一束平行光，经透镜会聚在屏幕中央上方的p处。作ac平面垂直于波线。设以λ/2为单位将缝ab的两条边缘光线的光程差bc刚好分为三等分,即bc满足asinφ=3/2λ

图8 图9

过每一等分点，作ac的平行线,则缝平面ab也被相应地分成三等分aa^’、a^’a^’’和a^’’b (每一等分为一个"波带")。相邻两个波带的光在p处相消,而剩下第三个波带的光对p处的亮度有贡献,所以p处为明纹。由此可知,当缝ab被分成奇数个波带时,屏上p处为明纹,单缝从a点和b点沿φ角方向发出的两条边缘光线的光程差满足

（15）

k=1,称一级衍射明纹,其余依次类推。

当缝平面ab被分成偶数个波带时,相邻两波带的对应光线在屏上相遇处两两相消, 因此该处为暗纹。暗纹条件下，单缝两条边缘光线的光程差满足

（16）

k=1,称一级衍射暗纹,其余依次类推。

当缝ab两条边缘光线的光程差在-λ到+λ之间(在两条一级衍射暗纹之间) ,则屏幕上相应区间为中央明纹,此时角度满足

（17）

(2)明纹宽度

相邻两级衍射暗纹中心之间距就是明纹的宽度。除中央明纹外,其余各级的明纹宽度为

（18）

式中f为透镜的焦距, λ为人射单色光的波长,α为单缝的宽度。中央明纹的宽度为其他各级明纹宽度的两倍。条纹亮度随级次的增大而减弱。

图11 单缝衍射图样

(3)单缝宽度a对衍射条纹的影响

由式（15）可见,当入射单色光的波长λ一定时,在单缝宽度α愈小时,相应各级衍射明纹的φ角就愈大,也就是光的衍射现象愈显著。反之,在α愈大时,各级衍射明纹对应的φ角愈小,这些明纹都向中央明纹靠拢,衍射现象愈不明显;若α»λ时,各级衍射明纹全部并入中央明纹区域,该区域被均匀照亮,这时光可看作是直线传播的。

(4)用白光照射单缝

当单缝宽度α一定时,对于同一级衍射明纹,入射光的波长愈大,则相应的衍射角φ愈大。因此,以白光照射时,中央明纹的中心处为白色,在中央明纹两侧出现由紫到红的彩色条纹,离中心最近的是紫色条纹,最远的是红色条纹。这组彩色条纹称为衍射光谱。

【例题】若对应于衍射角，单缝处的波面可划分为5个半波带，则单缝的宽度为a为：

a 2λ b 3λ c 5λ d 6λ

答案 c

分析：单缝处的波面可以划分为5个半波带，这是亮纹的情况，由单缝衍射的明纹条件，

，k=2，代入求得单缝宽度为5λ。

【例题】一束单色平行光垂直照射在宽度为1.0mm的单缝上，在缝后放一焦距为2.0m的会聚透镜，中央明纹宽度为2mm，则入射光波长约为

a 1000nm b 400nm c 500nm d 600nm

答案c

分析：中央明纹，，则，入射波长

3.衍射光栅

(1)光栅常数

光栅是由大量的等宽、等间距的单缝所组成的光学器件,缝宽(单缝的透光部分)α与缝间距(两相邻单缝之间不透光部分) b之和(α+b)称为光栅常数。光栅常数越小, 单位长度的单缝数越多,光栅越精致。

(2)光栅衍射在屏上出现明、暗条纹的条件

单色平行光垂直照射在光栅上,经凸透镜会聚,在位于透镜焦平面的光屏上出现明暗相间的条纹,称为光栅衍射条纹, 如图11所示。光栅衍射条纹的明、暗是单缝衍射和光栅各缝间干涉的总效果。

图11

①当衍射角为φ时，若满足

(19)

则屏上的p点出现明条纹。

(α+b)越小,透光缝数n越多,条纹越细、越亮, 条纹之间分得越开。

②若衍射角φ使得

其中m = 1,2,…, (n - 1) , (n + 1) ,…(2n -1) ，(2n+ 1)… （kn-1）,(kn+1)……(n为光栅的缝数)

p点为暗条纹,在光栅两条明条纹之间出现(n-1)条暗条纹。

③如果角度φ满足明条纹条件,即

但对每一单缝来说，两条边缘光线到达该点的光程差恰好满足暗条纹条件,即

组成光栅的每一单缝,在屏上的p点是暗纹。单缝的贡献都为零，所以该位置点本应出现的明条纹在屏上不再出现,这种现象称为缺级。

缺级的条件是

=整数 (20

)

光栅公式作几点讨论:

1)一定波长的单色光垂直入射光栅时,若光栅的光栅常数(α+b)较大,则各级明条纹对应的衍射角φ都较小,因此,相邻明条纹之间的间距较小;反之,光栅的光栅常数越小,相邻明条纹对应的衍射角φ相差越大,条纹之间的距离就越大。

2)给定光栅,即光栅常数一定,对于同一级明纹(k一定)入射光波长较大时,相对应的衍射角φ也较大;反之,波长较小时,相对应的衍射角φ也较小。用白光照射光栅时,除中央明纹外,其他各级明条纹都形成彩色的光谱(紫光的衍射角较小,红光的衍射角较大)。

3)由于,因此光栅常数与入射光波长一定时, k值不可能是无限的,即明条纹的数目是有限的。

【例题】一衍射光栅，每厘米内有200条透光缝，每条透光缝宽为，则在单缝衍射中央明纹宽度内，出现的主极大数目为：

a 1条 b 2条 c3条 d4条

答案 c

分析：本题综合性较强，先要求出光栅常数，由题目给出是200条透光缝，光栅常数。要记清，中央明纹的宽度是由单缝来决定的，题目中单缝宽度确定了，那么中央明纹边缘处对应的角度也就确定了，由可以得到，中央明纹边缘对应的角度值满足，光栅衍射主极大公式为代入可得k=2, 这说明k=2对应的主极大刚好与单缝衍射的第一级暗纹重合，将发生缺级现象。那么中央明纹间共有3条主极大，分别是k=0,±1对应的3个主极大。