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第一节 静力学基本知识

重点：

1、力的合成

2、力的分解

难点：

1、任意力系的简化与力的平衡

（力的三要素、力矩的概念、刚体概念、二力平衡）

一、 平面汇交力系的合成与平衡

平面汇交力系是指各力的作用线均在同一平面且交于同一点的力系。平面汇交力系可简化为一个合力，合力的大小与方向等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。包含 n 个力的汇交力系的合力矢为：

1 ．合成与平衡的几何法

二力汇交力系的合成可采用力的平行四边形法则和力的多边形法则；多个汇交力的合成可采用力的多边形法则。

平面汇交力系平衡的充分和必要条件是：

该力系的合力矢等于零。若采用几何法，则平衡的充分和必要条件（即几何条件）是：该力系的力多边形自行封闭。

2 ．合成与平衡的解析法

力在坐标轴上的投影：力在某坐标轴上的投影等于力的大小乘以力与坐标轴正向间夹角的余弦。

合力投影定理：合力矢在某一轴上的投影等于各分力矢在同一轴上投影的代数和。

如图 3-3 所示：以汇交力系的汇交点 o 作为坐标原点，建立直角坐标系工伪。设各分力矢在 x 、 y 坐标轴上的投影分别为 x₁ 、 x₂ ： … x_n和 y₁ 、y₂…y_n（图3-3a ) ，则合力矢在 x 、 y 轴上的投影（图3-3b）为：

平面汇交力系平衡的充分和必要条件（解析条件）是：该力系在两个坐标轴上的投影代数和分别等于零，即：

该式就是平面汇交力系的平衡方程，它由两个方程式组成，故只能求解两个未知量

【例3 -1】求图3 -4 ( a ）所示汇交力系的合力。

根据合力投影定理，该力系的合力在 x 、y 坐标轴上的投影分别为（图3 4b）。

故合力 f_r 的大小为：

合力f_r与 x 、 y 轴的夹角余弦分别为

可见，f_r与 x 、y 轴的夹角分别为120°、150°（图3 -4b）。

二、平面任意力系的简化与平衡

平面任意力系是指各力的作用线均在同一平面但呈任意分布的力系。（不一定交于同一点）

力的平移定理：可以将作用在刚体上点 a 的力 f 平移到任一点 b ，但必须同时附加一个力偶，该力偶的力矩等于原来的力 f 对新作用点 b 的矩。

合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩，等于力系中各力对同一点的矩的代数和。

平面任意力系向作用面内任一点 o 简化，可得到一个力和一个力偶。这个力等于该力系的主矢（即各力的矢量和），作用线通过简化中心o；这个力偶的矩等于该力系对于点 o 的主矩（即各力对点 o 的矩的代数和）。

平面任意力系平衡的充分和必要条件是：该力系的主矢及力系对于任一点的主矩均等于零。若用解析式表示，即为：

该式表明，平面任意力系平衡的解析条件为：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影代数和分别等于零，且各力对于任一点的矩的代数和等于零。上式有三个独立的方程，故只能求解三个未知量。

【例3 -2】三角支架的受力计算简图如图3 -7 （a）所示，试求杆bc的内力。

取横梁 ab 为研究对象，作出受力图如图 3 -7 ( b ）所示。梁 ab 除受均布荷载 q 外，在铰支端 a 处还受约束反力 r_ax 、 r_ay 的作用，b处还受二力杆bc的约束反力 n_bc（设为压力）的作用。梁 ab 上的这些力组成一平面任意力系。

若只需计算 bc 杆的内力，则只需利用对 a 点的力矩平衡方程，即

解得：

若还需进一步计算 a 点的约束反力，则可利用对 x 、y 轴的投影平衡方程，即

解方程得：

三结构的计算简图（简化）

结构计算简图的选取，既要反映实际结构的主要性能，又要尽量简化，以便于计算。计算简图中对结构的简化，一般包括杆件的简化、支座的简化和节点的简化等。

计算简图中，杆件通常用其轴线来表示；支座一般可简化为可动铰支座、固定铰支座、固定支座或定向支座；节点可简化为铰节点、刚节点或者部分刚接、部分铰接的组合节点。

图（ a ）所示的支承只能阻止杆端 a 沿竖向（垂直于支承面方向）的移动，沿水平方向的移动和绕 a 点的转动均没有约束，因此该支承可简化为一可动铰支座，它只有一个竖向反力 r _y ，如图（ e ）所示。

图（ b ）所示的支承不允许杆端 a 发生任何移动，而只能绕 a 点发生转动，故该支承可简化为一固定铰支座。这种支座可用水平和竖向两个反力分量 r_x、 r_y ，来表示，如图（f）所示。

图（c）所示的支承只允许杆端了。故该支承可简化为一定向支座 a 发生水平移动，，可用竖向反力 r , 而竖向移动与转动则被完全约束住和力矩 m 来表示，如图（ g ）所示。

图（ d ）所示的支承不允许杆端 a 发生任何移动和转动，因此可简化为一固定支座；它可用水平和竖向反力 rx 、ry ，以及反力矩 m 来表示，如图（ h ）所示。

第二节杆件的基本变形与截面的几何性质

重点：

1、杆件的基本变形

2、截面的几何性质

难点：

1、轴向、剪切、弯曲变形

一、轴向拉伸与压缩

1 ．轴力与轴向变形

轴向拉（压）杆件横截面上的内力只有轴力，轴力可采用截面法求得。轴力的正负号一般规定为：拉力为正，压力为负。轴力沿杆轴方向的变化采用轴力图表示。

依据平面假设，轴向拉（压）杆件的变形沿整个横截面是均匀的，因而应力在横截面上也是均匀分布的。横截面上应力的计算式为：

式中

n 一轴力；

a ― 横截面面积。

在弹性变形范围内，轴向拉（压）杆的伸长（缩短）量与杆所受轴力、杆的长度成正比，与杆的抗拉（压）刚度 ea 成反比，即

在bc段内任一截面处截开，取右侧部分为隔离体（图 3-9b ) ，由平衡条件

可得：

同理，在 ab 段内任一截面处截开，取右侧部分为隔离体（图3 -9c），由平衡条件

可得

因整个杆件的 ea=常数， ab 段的杆长虽为 bc 段的一半，但其所受的拉力为 bc 段的 3 . 5 / 1 . 5 ≈ 2 . 3 倍，因此 ab 段的伸长量大于 bc 段的缩短量，整个杆件的变形是伸长的。

2 ．温度改变的影响

自然界中的物体普遍存在热胀冷缩的现象，杆件结构也是一样。例如图所示的杆件，若其温度升高δt，因没有多余约束（即为静定），故杆件可以自由地伸缩，并不会产生内力或反力。

在温度改变作用下，杆件的伸长量 △l 与杆长 l及温度改变量△t 成正比，即：

式中α一材料的线膨胀系数。

对于图 ( b ）的杆件，若温度升高△t，由于杆件两端固定（即为超静定），阻止了杆件的自由伸缩，这样杆内将产生温度应力。显然，如果该杆温度升高（△t＞ 0 ) ，则杆内将产生压力；若温度降低（ △ t < 0 ) ，则杆内将产生拉力。

二、剪切

当杆件的某一截面受一对相距很近，方向相反的横向力作用时，杆件在该截面处将发生剪切变形。

例如图所示的螺栓连接件，当钢板受拉力 p 作用时，螺栓将在截面m-m处承受剪力，并产生剪切变形。在实用计算中，通常假设螺栓受剪面上各处的剪应力都相等，即名义剪应力等于受剪面所承受的剪力除以受剪面的面积。

三、扭转

1 . 扭矩与扭矩图

当杆件受一对转向相反，作用在垂直于杆轴线的两个平面内的外力偶作用时，杆件将发生扭转变形。

受扭杆件的内力（扭矩）可采用截面法求得。扭矩的正负号一般规定为：当扭矩按右手螺旋法则指向横截面外法线时为正，反之为负。

例如图（a）所示的扭杆，为求 ac 段的扭矩，在该段内用截面i-i将杆切开，取截面左侧部分（图b）为隔离体，由静力平衡方程：

可得：

在 cd 、 db 段内用截面将杆切开，利用同样方法可求得这两段的扭矩为

据此可作出扭矩图如图（c）所示。

2 ．圆杆扭转时的应力和变形

圆杆（实心或空心）受扭时，各横截面只发生与其他横截面的相对转动，截面自身的形状、大小都不改变，仍保持为平面。

扭杆横截面上只有剪应力。圆形扭杆横截面上任一点的剪应力与该点到圆心的距离成正比，方向垂直于该点与圆心的连线。因此，整个横截面上的剪应力沿截面半径成三角形分布，如图所示。

四、弯曲

1 ．纯弯梁的应力和变形

当杆件受一对方向相反、作用面位于杆的纵向对称平面内的力偶作用时，杆件将发生弯曲变形（。受弯杆件常简称为梁。

梁发生纯弯时，其横截面上只有弯矩一种内力。根据平截面假定，梁的横截面在弯曲变形后仍保持为平面，且仍垂直于挠曲后的梁轴线。这样，梁横截面上的正应变和正应力都沿截面高度方向成线性分布，应力和应变的计算式为

式中 y——计算点到截面中性轴的距离；

i——截面对中性轴的惯性矩。

el ——梁的抗弯刚度。

中性轴是梁横截面上正应力和正应变均为零的点所组成的一条直线。根据梁横截面上正应力合力为零的条件可以得到，中性轴不仅垂直于截面的纵向对称轴，而且通过截面形心。

上述纯弯梁的受力、变形特性以及应力、应变计算式，不仅适用于矩形截面梁，而且也同样适用于所有横截面对称于 y 轴的梁，如圆形、工字形和 t 形梁等。

2 ．受横向荷载作用的梁

受横向荷载作用的梁，其横截面上一般同时作用有弯矩和剪力。这种梁除主要发生弯曲变形外，其横截面还将产生横向剪切变形。由弯矩引起的横截面上的正应力的分布及计算式均与纯弯梁时相同，即正应力沿截面高度方向成线性分布；由剪力引起的横截面上的剪应力的分布相对较为复杂。对于矩形截面梁，横截面上剪应力的大小沿梁高按二次抛物线分布，剪应力在截面的上、下边缘处为零，在中性轴上达到最大值，如图所示。

五、截面图形的几何性质

在进行杆件的弯曲正应力、横向剪应力、扭转剪应力等计算中，要用到截面的惯性矩、极惯性矩、面积矩等物理量，这些量只与截面图形的几何形状、尺寸有关，因此称为截面图形的几何性质。

1．面积矩

平面图形对某一轴的面积矩 s ，等于此图形中各微面积与其到该轴距离的乘积的代数和，也等于此图形的面积与此图形的形心到该轴距离的乘积。

平面图形对于任一通过其形心的轴的面积矩为零。

2 ．惯性矩

平面图形对某一轴的惯性矩 i ，等于此图形中各微面积与其到该轴距离平方的乘积之和。

高度为 h ，宽度为 b 的矩形截面对其形心轴 z （即中性轴）的惯性矩为 i_z =bh³ / 12；直径为 d 的圆形截面对其形心轴的惯性矩为 i_z=πd⁴ / 64 。对于矩形截面，因其惯性矩与截面高度的立方成正比，因此要提高矩形梁的抗弯刚度，应尽可能增大梁的高度（在保证梁的侧向稳定性的前提下）。

平面图形对于非形心轴的惯性矩可以利用惯性矩的平移公式求得。平移公式表明：平面图形对任一轴的惯性矩，等于平面图形对与该轴平行的形心轴的惯性矩，加上平面图形的面积与两轴间距离平方的乘积。

由平移公式可知，在所有互相平行的轴中．，平面图形对其形心轴的惯性矩最小。

五、截面图形的几何性质

1．面积矩

平面图形对某一轴的面积矩 s ，等于此图形中各微面积与其到该轴距离的乘积的代数和，也等于此图形的面积与此图形的形心到该轴距离的乘积。

平面图形对于任一通过其形心的轴的面积矩为零。

2 ．惯性矩

平面图形对某一轴的惯性矩 i ，等于此图形中各微面积与其到该轴距离平方的乘积之和。

由平移公式可知，在所有互相平行的轴中．，平面图形对其形心轴的惯性矩最小。

t 形截面的翼缘和腹板均为矩形。设这两个矩形的面积分别为 a₁，、 a₂，其形心到 z 轴的距离分别为y₁、y₂ ：。于是整个截面的形心 o 到 z 轴的距离为

截面对形心轴z₀的惯性矩为

3 ．惯性积

平面图形对某一对相互垂直（即正交）的坐标轴（如 y 、 z 轴）的惯性积i_yz，等于此图形中各微面积与该微面积的 y 、 z 坐标值的乘积的代数和。

容易验证，只要 y 、 z 两轴中有一轴是平面图形的对称轴，则该图形对 y 、 z 轴的惯性积i_yz=0。

第三节平面体系的几何组成分析

重点：

1、平面几何组成分析

难点：

1、两刚片、三刚片原则的应用、二元体。

一、几何不变与几何可变体系

杆件体系受到任意荷载作用后，在不考虑材料应变的情况下，其位置和几何形状若能保持不变，这样的体系称为几何不变体系；如果在不考虑材料应变的情况下，其位置或形状是可以改变的，这样的体系则称为几何可变体系。瞬变体系是一种特殊的几何可变体系，它可以沿某一方向产生瞬时的微小运动，但瞬时运动后即转化为几何不变体系。一般工程结构必须是几何不变体系，而不能采用几何可变（常变或瞬变）体系。

二、几何不变体系的基本组成规则

组成几何不变的平面体系的三个基本规则如下：

1 ．二元体规则在一个刚片上增加或撤去一个二元体，仍为几何不变体系，且没有多余约束（图a ）。

所谓二元体是指由两根不在同一直线上的链杆连接一个新结点的装置（图a ）。

2 ．两刚片规则

两个刚片用一个单铰（实铰或虚铰）和一根所在直线不通过该铰铰心的链杆相连，组成几何不变体系，且没有多余约束（图b ）。

所谓虚铰（或称瞬铰）是指连接两个刚片的两根链杆在其交点处组成的一个假想铰（图b ) ，它的作用相当于一个单铰。

3 ．三刚片规则三个刚片用不在同一直线上的三个铰（实铰或虚铰）两两相连，组成几何不变体系，且没有多余约束（图c）。

上述三个基本组成规则的核心实际上只有一个，即铰接三角形规则。在平面体系中，铰接三角形是一个稳定的平面组成形式。将铰接三角形中的一根链杆、两根链杆及三根链杆分别替换为一个刚片（即任一几何不变部分）、两个刚片和三个刚片，同时将虚铰的作用与一个单铰同等看待，即可分别得到二元体规则、两刚片规则和三刚片规则。

应当指出，三个基本组成规则中所指的刚片是没有多余约束的刚片。

三、几何组成分析方法

平面体系几何组成分析的依据是三个基本组成规则。具体分析时，通常采用以下几种方法。

（1）先找出易于观察的几何不变部分作为刚片，并根据找到的刚片数目套用三个基本组成规则（例如找到了两个刚片，则考察它们之间的约束是否满足两刚片规则的要求），由此得到一个扩大的几何不变部分；再将该部分作为一个大的刚片进一步分析，’直至分析完整个体系。该方法通常称为扩大刚片法。

（2）如果体系中存在二元体，可逐个撤除二元体，再对余下的部分进行分析。这不会改变原体系的几何组成性质。

（3）如果体系本身与基础之间只用三根既不完全平行也不完全交于一点的支座链杆（或一根链杆和一个不过该链杆的铰）相连，则可以将基础及支座链杆撤除，仅对体系本身进行分析。换句话说，这种体系的几何组成性质仅取决于体系本身。

【例3 -7】分析图左和图右所示体系的几何组成。

对于图左所示的体系，将 abc 作为刚片i，基础作为刚片ii ，两刚片通过铰 a 及支座链杆 b 相连，根据两刚片规则组成几何不变部分，且无多余约束。将该部分作为扩大的刚片，它与刚片def通过链杆cd及 e、f 处的支座链杆相连，三链杆既不完全交于一点，也不完全平行，根据两刚片规则组成几何不变体系。故原体系为几何不变体系，且没有多余约束。

对于图右所示的体系，将 be 作为刚片i， efc 作为刚片ii ，基础作为刚片iii , 三刚片通过b 、e 、c三铰两两相连；因三铰不共线，故根据三刚片规则组成几何不变部分，且没有多余约束。将该几何不变部分作为扩大的刚片，并将 a 处两支座链杆归于该刚片（视为增加一个二元体），在此基础上再增加二元体 ade 。由此可见，体系为几何不变体系，且没有多余约束。

四、静定结构与超静定结构

用作结构的杆件体系，必须是几何不变的。几何不变体系又可分为无多余约束的和有多余约束的。对于无多余约束的结构体系，其全部反力和内力均可由静力平衡条件求得，这种结构称为静定结构。

对于有多余约束的结构体系，其全部反力和内力不能仅依靠静力平衡条件求得，这类结构称为超静定结构。