1.5 风险管理的数学基础
学习目的
◆掌握绝对收益和百分比收益的计算方法。
◆掌握预期收益率的计算方法，理解方差、标准差和正态分布在风险管理中的重要应用。
◆理解资产组合风险分散的基本原理。
 
1.5.1收益的的计量
1、绝对收益——是对投资成果的直接衡量，反映投资行为得到的增值部分的绝对量。数学公式表示为：绝对收益=p-p0
其中，p为期末的资产价值总额, p0为期初投入的资金总额。
2、百分比收益率——是当期资产总价值的变化及其现金收益占期初投资额的百分比。假定期初的投资额为p0，在期末市资产的投资额为p，d为资产持有期间的现金收益，用数学表达式可表示为：r=（p-p0 +d）/p0 ×100%
    案例分析：
    1、投资者期初每股20元价格，收购股票100股，半年后每股收到0.3元现金红利，同时卖出股票价格是22元，则在此半年期间，投资者的百分比收益率为：
每股收益：p-p0 +d=22+0.3-20=2.3元，
百分比收益率：2.3÷20×100%=11.5%
在实践中，如果需要不同投资期限金融产品的投资收益率进行比较，通常需要计算这些金融产品的年化收益率，同时考虑复利收益。
2、投资者a半年百分比收益率为5%，投资者b一年的百分比收益率为10%，假如每个人期初均投入100元，则比较？
投资者a：总收入为     100×（1+5%）×（1+5%）=110.25，
年化收益率为（110.25-100）÷100=10.25%
投资者b：10%
复利的频率越高，则收益率越高。

1.5.2常用的概率统计知识
1、预期收益率（会计算）
预期收益率和方差计算
预期收益率是一种平均水平的概念，但不是简单的直接平均，而是对未来可能结果的加权平均，即每一种结果的收益率乘以这种结果出现的可能性。
假定收益率r服从某种概率分布，资产的未来收益率有n种可能取值r1，r2，…，rn，每种收益率对应出现概率为pi，则该资产的预期收益率e（r）为：
e（r）=p1r1+p2r2+……+pnrn
 
【例题】假定股票市场一年后可能出现5种情况，每种情况所对应的概率和收益率如下表所示：
概率
0.05
0.20
0.15
0.25
0.35
收益率
50%
15%
-10%
-25%
40%
则，一年后投资股票市场的预期收益率为（d）。
a．18.25%    b．27.25%
c．11.25%    d．11.75%
解析：0.05×50%+0.20×15%-0.15×10%-0.25×25%+0.35×40%=0.1175，即11.75%。
 
2、方差和标准差（掌握涵义、方差与标准差之间计算）
资产收益率的不确定性就是风险的集中表现，而风险的大小可以由未来收益率与预期收益率的偏离程度来反映。
假设资产未来收益率有可能取值r1，r2，…，rn，每种收益率出现概率为pi，则资产的方差var（r）为：
var（r）=p1[r1- e（r）]2+ p2[r2- e（r）]2+…+ pn[rn- e（r）]2
    方差的平方根为标准差。实践中，通常将标准差作为刻画风险的重要指标。
    资产收益率标准差越大，表明资产收益率的波动性越大，当标准差很小或接近与零时，资产收益率基本稳定在预期收益水平，出现不确定性的程度逐渐减小。
3、正态分布（掌握涵义）



正态分布曲线具有重要性质：（掌握，教材26-27页）
 
在风险计量的理论研究和实际应用中，正态分布起着特别重要的作用。实际中遇到的许多随机现象都服从或近似地服从正态分布。
 
【例题】正态分布的图形特征是（a）。
a．中间高，两边低，左右对称
b．左高右低
c．右高左低
d．中间低，两边高，左右对称
 
【例题】正态随机变量x的观测值落在距均值的距离为2倍标准差范围内的概率约为（b）。
a．68%    b．95%
c．32%    d．50%
 
1.5.3投资组合分散风险的原理
    1、马克维茨投资组合理论：相同风险下，收益最大；相同收一下，风险最小。
2、如果资产组合中各资产存在相关性，则风险分散的效果会随各资产间的相关系数不同而有所不同。（案例分析重点讨论相关系数分别为+1、0和-1三种情况，教材28页）
假设其他条件不变，各个资产之间相关系数为正时，风险分散效果较差；当相关系数为负时，分散效果较好。
    要求：1、掌握如何求组合收益，认识资产组合的标准差
          2、经过案例讨论掌握相关系数在+1、0和-1三种情况下的风险分散效果。