第五章   概率统计基础

本章首先介绍事件及其概率的定义和运算、随机变量及其分布等基础知识，较详细地介绍了二项分布和正态分布。在此基础上，引出样本与统计量以及参数估计等数理统计的基本概念。最后阐述了散布图的概念、作法和相关系数的检验，以及一元线性回归方程的计算方法和应用。

 

第一节  概率的基础知识

知识点一：事件及其概率

考纲要求：

1.掌握随机现象与事件的概率

2.熟悉事件运算

3.掌握概率的统计定义及其性质

4.熟悉事件的独立性及其性质

 

（一）随机现象

在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。从这个定义中可以看出，随机现象有两个特点：

（1）随机现象的结果至少有两个；

（2）至于哪一个出现，事先并不知道。

抛硬币、掷骰子是两个最简单的随机现象的例子。抛一枚硬币，可能出现正面，也可能出现反面，至于哪一面出现，事先并不知道。又如掷一颗骰子，可能出现1点到6点中某一个，至于哪一点出现，事先也不知道。

只有一个结果的现象称为确定性现象。例如，太阳从东方出，同性电荷相斥，异性电荷相吸，向上抛一石子必然下落等。

 

[例5.1-1]质量管理中到处可见的一些随机现象例子：

一天内进入某超市的顾客数；

一顾客在超市中购买的商品数；

一顾客在超市排队等候付款的时间；

一个麦穗上长着的麦粒数；

 新产品在未来市场的占有率；

一台电视机从开始使用到发生第一次故障的时间；

加工某机械轴直径的误差；

一罐午餐肉的重量。

认识一个随机现象首先要知道它的一切可能发生的基本结果。这里的基本结果称为样本点，随机现象一切可能样本点的全体称为这个随机现象的样本空间，常记为ω。

“抛一枚硬币”的样本空间ω ={正面、反面}；

“抛一颗骰子”的样本空间ω ={1，2，3，4，5，6}；

“一顾客在超市中购买商品件数”的样本空间ω ={0，1，2，…}；

“一台电视机从开始使用到发生第一次故障的时间”的样本空间    ω ={t：t ≥0}；

“测量某物理量的误差”的样本空间ω ={x：- ∞ < x <+ ∞}

 

例题1：随机现象的样本空间ω中至少含有（）个样本点[2007年真题]

a.0       b.1      c.2       d.3  

答案：c

随机现象可能发生结果称为样本点，随机现象一些可能样本点的全体称为这个随机现象的样本，记为ω。因为随机现象的结果至少有两个，所以随机现象的样本空间ω中至少有2个样本空间。

例题2：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象，随机现象的特点有（）。

 a.随机现象的结果至少有两个

 b.随机现象之间必然存在一定的联系

 c.至于那一个先出现，事先不知道

 d.其发生的可能性大小，不一定会能度量

 e.事先可以指导哪个先出现

答案：ac。随机现象的定义。

（二）随机事件

随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件，常用大写字母a、b、c等表示。如在掷一颗骰子时，“出现奇数点”是一个事件，它有1点、3点、5点共三个样本点组成，若记这个事件为a，则有a={1,3,5}。

1.随机事件的特征

从随机事件的定义可见，事件有如下几个特征：

（1）任一事件a是相应样本空间中的一个子集。在概率论中常用一个长方形示意样本空间ω，用其中一个圆（或其他几何图形）示意事件a，如图所示。这类图形称为维恩（venn）图。

 

（2）事件a发生当且仅当a中某一样本点发生，若记ω₁,ω₂,是ω中的两个样本点，如图所示，当ω₁发生，且ω₁∈a（表示ω₁在a中），则事件a发生；当ω₂发生，且ω₂ ∉a（表示ω_2不在a中），则事件a不发生。

（3）事件a的表示可用集合，也可用语言，但所用语言必须是准确无误的。

（4）任一样本空间都有一个最大子集，这个最大子集就是ω，它对应的事件称为必然事件，仍然用ω表示。比如掷一颗骰子，“出现点数不超过6”就是一个必然事件，因为它含有ω＝{1,2,3,4,5,6}中所有样本点。

（5）任一样本空间都有一个最小子集，这个最小子集就是空集，它对应的事件称为不可能事件，用ф表示。

 

[例5.1-2] 若产品只区分合格与不合格，并记合格品为“0”，不合格品为“1”。则检查两件产品的样本空间由下列四个样本点组成。

ω ={（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}

其中样本点（0，1）表示第一件产品为合格品，第二件产品为不合格品，其他样本点可以类似解释。

下面几个事件可用集合表示，也可以用语言表示。

a =“至少有一件合格品”= {（0，0），（0，1），（1，0）}；

b =“至少有一件不合格品”= {（1，0），（0，1），（1，1）}；

c=“恰好有一件合格品”= {（0，1），（1，0）}；

ω=“至多有两件合格品”= {（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}；

φ=“有三件不合格品”。

现在我们来考察“检查三件产品”这个随机现象，且合格品仍记为“0”，不合格品记为“1”。它的样本空间ω含有2³=8个样本点。

ω={（0，0，0），（0，0，1），（0，1，0），（0，1，1），（1，0，0），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）}

下面几个事件可用集合表示，也可以用语言表示。

a=“至少有一件合格品”={ω中剔去（1,1,1）的其余7个样本点}；

b=“至少有一件不合格品”={ω中剔去（0,0,0）的其余7个样本点}；

c=“恰有一件不合格品”={（0,0,1），（0,1,0），（1,0,0）}；

d=“恰有两件不合格品”={（0,1,1），（1,0,1），（1,1,0）}；

e=“全是不合格品”={（1,1,1）}；

f=“没有不合格品”={（0,0,0,）}。

 

2．随机事件之间的关系

在一个随机现象中常会遇到许多事件，它们之间有下列三种关系。

（1）包含：在一个随机现象中有两个事件a与b，若事件a中任一个样本点必在事件b中，则称事件a被包含在事件b中，或事件b包含事件a，记为a⊂b，或b⊃a，这时事件a的发生必导致事件b发生。

如掷一颗骰子，事件a=“出现4点”必导致事件b=“出现偶数”的发生，故a⊂b。显然，对任一事件a，有ω⊃a⊃ф。

（2）互不相容：在一个随机现象中有两个事件a与b，若事件a与b没有相同的样本点，则称事件a与b互不相容。这时事件a与b不可能同时发生。

如电视机寿命试验里，“电视机寿命小于1万小时”与“电视机寿命超过4万小时”是两个互不相容事件，因为它们无相同的样本点，或者说，他们不可能同时发生。

两个事件的互不相容性可以推广到三个或更多个事件间的互不相容。  

 

（3）相等：在一个随机现象中有两个事件a与b，若事件a与 b含有相同的样本点，则称事件a与b相等，记为a=b。如果两个事件相等，它们必互相包含，即若a=b，则有a⊃b，b⊂a；反之若两个事件互相包含，则它们相等。

例如在掷骰子的随机事件中，其样本点记为（x,y），其中x与y 分别为第一与第二颗骰子出现的点数，如下两个事件：

a＝{（x,y）:x+y=奇数}

b={（x,y）:x与y的奇偶性不同}

可以验证a与b含有相同的样本点，故a＝b

例题1：事件a发生，是指（）不发生。

a. 样本空间某一样本点    

b. 当且仅当a中任何一样本点发生

c. 与事件a相容的某一事件

d. 样本空间中某一样本点

答案：b。事件a发生，是指当且仅当a中一样本点发生；事件a不发生，是指当且仅当a中任何一样本点不发生

 

（三）事件的运算

事件的运算有下列三种。

（1）对立事件：在一个随机现象中，ω是样本空间，a为事件，则由ω中而不存在a中的样本点组成的事件称为a的对立事件。记为Ā。

例如在检查一匹布中，事件“至少有一个疵点”的对立事件是“没有疵点”。

通俗的说所谓对立事件，有你没我，有我没你，但咱俩之间必须有一个。对立事件是相互的，a的对立事件是Ā，则Ā的对立事件必然是a。

（2）事件的并：由事件a与b中所有的样本点（相同的只计入一次）组成的新事件称为a与b并，记为a∪b。并事件发生意味着“事件a与b中至少有一个发生”。

（3）事件的交：由事件a与b中公共的样本点组成的新事件称为事件a与b的交，记为a∩b或ab。交事件ab发生意味着“事件a与b同时发生”。

例如，在掷骰子试验中，a={出现的点数为偶数}，b={出现的点数为奇数}，a∪b为必然事件（ω），a∩b为不可能事件（ф ），所以a与b互为对立事件。

 

例题1：事件ab发生，意味着事件a与事件b（）

a.相互独立                  b. 两个同时发生   

c. 至少发生一个         d. 相等

答案：b。

由事件a与b中公共的样本点组成的事件称为a与b的交，记为a∩b或ab。交事件ab发生意味着“两个同时发生 ”。

 

例题2：从一批产品中随机抽取3个，记事件a：”至少有一个是合格品”与事件b：”都是合格品”，以下叙述正确的是（  ）。[2007年真题]

a.a⊃b      

b.b⊂a     

c.a与b互不相容    

d.a与b相互对立       

e.aub=ω

解析：记合格品为“0”，不合格品为“1”，则检查散件产品的样本空间ω={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),

(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}.有题意，

事件a={={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),

(1,0,1),(1,1,0)}，事件b={(1,1,1)}。所以a与b互不相容，aub=ω，所以a与b相互对立。

答案：cde

 

（四）事件的概率

所谓概率：就是事件发生可能性大小的度量，用p(a)表示，其大小介于0到1之间。概率越大，事件发生的可能性就越大；概率越小，事件发生的可能性就越小。

1、概率的统计定义

（1）与事件a有关的随机现象是允许大量重复试验的；

（2）计算公式：

 

 

 

其中n_a —a发生的次数(频数)；n—总试验次数。称f_n(a)为a在这n次试验中发生的频率。

 

（3）频率f_n(a)将会随着重复试验次数不断增加而趋于稳定，这个频率的稳定值就是事件a的概率。

【例】1、中国国家足球队，“冲击亚洲”共进行了n次，其中成功了一次，则在这n次试验中“冲击亚洲”这事件发生的频率为1/n。  

2、某人一共听了17次“概率统计”课，其中有15次迟到，记a={听课迟到}，则f_n(a)=15/17=88%

3、抛硬币出现的正面的频率。

 

2.概率的性质              

性质1. 必然事件ω的概率为1，即p(ω)=1

性质2. 不可能事件ф的概率为0，即p(ф)=0

性质3. 任何一个事件a的概率必介于0到1之间，即0≤p(a)≤1

性质4. 若事件a与事件b互不相容，则a与b的并的概率等于各事件概率之和。即p(a∪b)=p(a)+p(b)

性质5.  事件a的对立事件Ā的概率为p(Ā)=1-p(a)

性质6. 事件a与b相互独立（即其中一个事件的发生不影响另一件事件的发生），则a与b的交事件的概率为：p(ab)=p(a)p(b)

 

【例5.1-4】一个试验的结果是五种可能结果之一，这五种可能结果分别记为a,b,c,d,e。他们发生的概率为：

(1)这个实验的样本空间ω={a,b,c,d,e}，所以有

p(ω)=p(a)+p(b)+p(c)+p(d)+p(e)=1

这说明必然事件的概率为1

(2)定义事件a={b,d,e}，它的概率为：p(a)=p(b)+p(d)+p(e)=0.8

(3)定义事件b={a,d,e}，它的概率为

p(b)=p(a)+p(d)+p(e)=0.7

(4)并事件a∪b={a,b,d,e}，

    p(a∪b)=p(a)+p(b)+p(d) +p(e)=0.9

(5)交事件ab={d,e}，它的概率为p(ab)=p(d)+p(e)=0.6

 

例题1：掷硬币两次，事件“全是正面或全是反面”的概率（）。

a. ¼             b. ½        

c. ¾          d. 1

答案：b。掷硬币两次，样本空间为{(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，反面)，(反面，正面)}。故“全是正面或全是反面”的概率为2/4=1/2 。

例题2：概率的基本性质有（）。

a.概率是非负的，其数值介于0与1之间，即对任意时间a有0≤p(a)≤1

b. p(Ā)+p(a)=1

c. p(a-b)=p(a)-p(b)

d. p(aub)=p(a)+p(b)-p(ab)

e. 对于多个事件a1、a2、a3…有p（a1ua2ua3…）=p(a1)+p(a2)+p（a3)+…

答案：abd。c项，若b⊂a，则有ｐ(ａ-b)=p(a)-p(b);e项，对于多个事件a1、a2、a3…，若ai相互独立则有

p（a1ua2ua3…）=p(a1)+p(a2)+p（a3)+…

 

小结

随机现象2个特点；随机事件的5个特征和3种关系，事件的3中运算，概率的6个性质及计算。

 

知识点二：二项分布与正态分布

1.熟悉随机变量及其分布的概念

2.掌握二项分布的概念及其均值、方差有效期和标准差

3.熟悉利用二项分布对不合格品率的计算

4.掌握正态分布的概念及其均值、方差和标准差

5.掌握标准正态分布、正态分布表及有关正态分布的计算

 

（一）随机变量及其分布

1.随机变量

表示随机现象结果的变量称为随机变量。常用大写字母x, y, z等表示随机变量，它们的取值用相应的小写字母x, y, z等表示。

假如一个随机变量仅取数轴上有限个点或可列个点 (见图5.1-9)，则称此随机变量为离散随机变量，或离散型随机变量。

假如一个随机变量的所有可能取值充满数轴上一个区间 (a,b)(见图5.1-10)，则称此随机变量为连续随机变量，或连续型随机变量 。

【例5.1-5】

(1) 设x是一只铸件上的瑕疵数，则x是一个离散随机变量，他可以取0,1,2,3…等值。

(2) 一台电视机的寿命x（单位：小时）是在[0，∞）上取值的连续随机变量。

 

2.随机变量的分布

虽然随机变量的取值是随机的，但其本质上还是有规律性的，这个规律性可以用分布来描述。认识一个随机变量x的关键就是要知道它的分布，分布包含如下两方面内容:

(1) x可能取哪些值，或在哪个区间上取值。

(2) x取这些值的概率各是多少，或x在任一区间上取值的概率是多少?

 下面分离散随机变量和连续随机变量来叙述它们的分布，因为这两类随机变量是最重要的两类随机变量，而它们的分布形式是有差别的。

(1). 离散随机变量的分布

离散随机变量的分布可用分布列来表示， 比如，随机变量x仅取n个值: x1,x2, …,xn,

随机变量x取x1的概率为p1，取x2的概率为p2 ，…,取xn的概率为pn。这些可用一张表清楚地表示:

随机变量x取x1的概率为p1，取x2的概率为p2 ，…,取xn的概率为p_n。这些可用一张表清楚地表示:

或者用数学式子表示：

p(x=x_i)=p_i , i=1,2,3, …,n

 

【例5.1-7】某厂生产的三极管，每100支装一盒，记x为一盒中不合格品数，厂方多次抽查，根据近千次的抽查记录，从未发现一盒中有9支或9支以上的不合格三极管，用统计方法整理历史数据可得到如下分布:

根据这个分布我们可以看出，1、最可能发生的不合格品数在1到3之间，它的概率是p(1≤x≤3)=p(x=1)+p(x=2)+p(x=3)=0.718

2、超过5个的不合格品频率很小。

 

(2)连续随机变量的分布

连续随机变量x的分布可用概率密度函数p(x)表示。

概率密度函数的性质：

①  p（x）≥0

②

性质②也可描述为：概率密度曲线与x轴的夹面积为1，称为归一性。

(3). 随机变量分布的均值、方差和标准差

随机变量x的分布 (概率函数或密度函数)有几个立要的特征数，用来表示分布的集中位置 (中心位置)和散布大小。

1.均值：用来表示分布的中心位置，用e(x)表示。对绝大多数的随机变量，在均值附近取值的机会最多。计算公式是：

 

2. 方差：用来表示分布的散布大小，用var(x)表示，方差大意味着分布的散布程度较大，也即比较分散，方差小意味着分布的散布程度小，也即分布较集中。计算公式是：

3. 标准差：因为方差的量纲是x的量纲的平方，为是表示分布散步大小的量纲与x的量纲相同，对方差开平方，并记为σ。计算公式是：

 

【例5.1-7】三极管检验数据

e(x)=0×0.142+1×0.278+2×0.260+3×0.180+4×0.090+5×0.036+6×0.010+7×0.002+8×0.002=1.968

var(x)=(0-1.968)2×0.142+(1-1.968)2×0.278+(2-1.968)2×0.260+(3-1.968)2×0.180+(4-1.968)2×0.090+(5-1.968)2×0.036+(6-1.968)2×0.010+(7-1.968)2×0.002+(8-1.968)2×0.002

=1.991

σ(x)= sqrt(1.991)=1.41

 

（二）二项分布

二项分布即重复n次的伯努利试验。描述随机现象的一种常用概率分布形式，因与二项式展开式相同而得名。它满足如下条件:

(1) 重复进行n次随机试验。

(2) n次试验间相互独立，即任何一次试验结果不会对其他次试验结果产生影响。

(3) 每次试验仅有两个可能的结果，比如，正面与反面、合格与不合格、命中与不命中、具有某特性与不具有某特性，以下统称为“成功”与“失败”。

(4) 每次试验成功的概率均为p，失败的概率均为1- p。

在上述条件下，设x 表示独立重复试验中成功出现的次数，x可以取0,1,2，…，n等n+1个值的离散随机变量，它的概率为：

这种分布称为二项分布，记为b(n，p)，其中

是从n个不同元素中取出x个的组合数，它的计算公式为：

【5.1-9】在一个制造过程中，不合格品率为0.05，如今从成品中随机取出10个，记x 为10个成品中的不合格品数，则x 服从二项分布。

（1）恰有1个不合格品的概率是多少? 若规定抽到不合格品为“成功”，则x 服从b(10,0.05)，则所求概率为：

这表明，10个成品中恰有一个不合格品的概率为0.3151

(2) 不超过2个不合格品的概率为多少？

这表明，10个成品中有少于2个不合格品的概率为0.9138。

(3)二项分布的均值、方差与标准差分别为多少？

 

例题：下列关于二项分布的论述不正确的是（）

a.重复进行的n次试验相互不独立

b.可用来描述与计点过程相关联的事件

c.每次试验仅有两个可能的结果

d.每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p

e.每一次试验的结果不对其他此实验结果产生影响

答案：ab。有二项分布的基本性质克制：重复进行的n次试验相互独立，故不能用来描述与计点过程相关联的事件。

 

（三）正态分布

1. 正态分布的概率密度函数

正态分布的概率密度函数有如下形式：

它的图形是对称的钟形曲线，常称为正态曲线(见图5．1-12)。

正态分布含有两个参数μ与σ，常记为n(μ，σ2)。

其中μ为正态分布的均值，它是正态分布的中心，质量特性x在μ附近取值的机会最大。σ2是正态分布的方差，σ>0是正态分布的标准差。σ愈大，分布愈分散；σ愈小，分布愈集中。

均值μ— 位置参数

固定标准差σ, 对于不同的均值，μ1< μ2, 对应的正态曲线 f (x)的形状不变化，仅位置不同. 见图5.1-13(a)。

标准差σ— 形状参数

固定均值μ，对于不同的σ₁< σ₂， 正态曲线f ( x) 的位置不变化，形状不同. 见图5.1-13(b)。

几何意义 : σ大小与曲线陡峭程度成反比

数据意义 : σ大小与数据分散程度成正比

 

2. 标准正态分布

μ=0且σ=1的正态分布称为标准正态分布，记为n(0，1)。服从标准正态分布的随机变量记为u，它的概率密度函数记为 φ (u),它的图形见图5.1-14。

标准正态分布函数表

它可用来计算形如“u≤u”的随机事件发生的概率p(u≤u) ，也即“u≤u”的分布函数f(x)=p(u≤u)，记为ф(u)。根据u的值可在标准正态分布函数表(附表1-1)上查得ф(u)，譬如事件“u≤1.52”的概率可从附表1中查得：

          p(u≤1.52)=ф(1.52)=0.9357

它表示随机变量u取值不超过1.52的概率，在数量上它恰好为1.52左侧的一块阴影面积(见图5.1-15)。

由于直线是没有面积的，即直线的面积为零，故：p(u≤1.52)=p(u<1.52)=ф(1.52)=0.9357

 

综合上述，可得如下计算公式：

(1) p(u≤a)=p(u<a)=ф(a) ，见图5.1-15。

(2)p(u>a)=1-ф(a)，见图5.1-16。

(3)ф(-a)=1-ф(a)，见图5.1-17。

(4)p(a≤u≤b)=ф(b)-ф(a)，见图5.1-18。

(5)p(|u|≤a)=2ф(a)-1，见图5.1-19。

 

3. 标准正态分布n(0，1)分位数

这里结合标准正态分布n(0，1)来叙述分位数概念。对概率等式p(u≤1.282)=0.9，有两种不同但等价的说法：

(1) 0.9是随机变量u不超过1.282的概率。

(2) 1.282是标准正态分布n(0，1)的0.9(或90％)分位数，记为u0.9。

后一种说法有新意：0.9分位数u0.9把标准正态分布密度函数 (u)下的面积分为左右两块，左侧一块面积恰好为0.9，右侧一块面积恰好为0.1 (见图5.1—20)。

一般说来，对介于0与1之间的任意实数α，标准正态分布n(0，1)的α分位数是这样一个数，它的左侧面积恰好为α，它的右侧面积恰好为1-α(详见图5.1-21)。用概率的语言，u(或它的分布)的α分位数u_α是满足下面等式的实数：

        p( u≤uα )=α

分位数uα亦可用标准正态分布表从里向外查得，尾数可用内插法得到，譬如0.95的分位数u_0.95可先查得：

               u_0.9495=1.64，u_0.9505=1.65

由于概率0.95恰好介于0.9495与0.9505中间，故

              u_0.95=1.645

0.5分位数，即50％分位数也称为中位数，在标准正态分布n(0，1)场合，u_0.5=0。

当α<0.5时，譬如α=0.25，由对称性可知u0.25=-u0.75。

u0.75=0.675，对它加上负号即得u0.25=- 0.675，类似地有u0.1=-u0.9=-1.282(见图5.1-22)。

 

4. 有关正态分布的计算

正态分布计算基于下面的重要性质:

此性质表明，任一个正态变量x(服从正态分布的随机变量的简称)经过标准化变换(x - μ)/σ后都归一到标准正态变量u。

标准化变换: 正态变量减去自己的均值后再除以自己的标准差。

例如：

两个正态变量及其标准化变换后的分布的示意图见图5.1-23。

 

【例5.1-10】设x～n(10，22)和y～n(2，0.32)，概率p(8<x<14)和p(1．7<y<2．6)各为多少?

首先对每个正态变量经过各自的标准化变换得到标准正态变量，这个过程见图5.1-24。

根据性质2中(3)，让区间端点随着标准化变换而变化，最后可得：

标准化变换的作用:通过标准化变换，各种正态分布计算都可通过一张标准正态分布函数表来实现

 

【例5.1-11】产品某个质量特性x的不合格品率，计算要知道下列两件事：

(1)质量特性x的分布，在过程受控(见第七章)情况下，x的分布常为正态分布n(μ，σ2)，这是稳定过程的概括。

(2)产品的规格限，常包括上规格限tu和下规格限tl，这些都是用文件形式对产品特性所作的要求，这些要求可能是合同规定、某个公认的标准、也可能是企业下达的生产任务书。

明确了这两点后，产品质量特性x的不合格品率为：p=pl+pu

其中pl为x低于下规格限的概率，pu为x高于上规格限的概率(见图5.1-25)，即：

为具体说明不合格品率的计算，看下面的例子。

(1)某厂生产的电阻器的规格限为80±4kω。现从现场得知该厂电阻器的阻值x服从正态分布，均值μ=80.8kω，标准差σ=1.3kω，则其低于下规格限tl=76kω的概率和超过上规格限tu =84kω的概率分别为：

故该电阻器的不合格品率p=pl+pu=0.0070

(2) 某部件的清洁度x(单位：毫克)服从正态分布n(48， 12²)。清洁度是望小特性(愈小愈好的特性)，故只需规定其上规格限，现规定tu=85毫克，其不合格品率为：

故在清洁度指标上，该部件的不合格品率为968ppm，其中1ppm= 10^-6.

(3)某金属材料的抗拉强度(单位：kg／cm2)服从正态分布n(38， 1.8²)。抗拉强度是望大特性(愈大愈好的特性)，故只需规定其下规格限，如今tl=33kg／cm2。其不合格品率为：

在抗拉强度上，该金属材料的不合格品率为0.27％。

 

【例5.1-12】在正态分布中心μ与规范中心(m=(t_l+t_u)／2)重合时，若规格限取为μ±kσ，其中k为某个实数，则有：

对k=1，2，3，4，5，6，可通过查附表1-1算得上述各种概率，具体计算结果见图5.1-26，其中不合格品率用ppm(10^-6)单位表示，特别对过小的不合格品率更是如此

图5.1-26  在正态分布中心与规范中心重合时，x超出规格限

（k=1，2，…，6）的不合格品率

 

例题1：正态分布n（10,2²）的中位数是（）。[2007年]

a.2              b.4           

c.5              d.10

答案：d。正态分布有两个参数μ和 σ，常记为n（ μ， σ² ），其中μ为正态分布的均值，她是正态分布的中心，即为正态分布的中位数。故正态分布n（10,2²）的中位数为10。

例题2：3.4ppm表示为（  ）。[2008年]

a.3.4 x 10-3                    

b. 3.4 x 10-4          

c. 3.4 x 10-5                   

d. 3.4 x 10-6

答案：d。1ppm = 1 x 10-6

例题3：设u~n(0,1)，且p(u<1)=0.8413，则些列说话正确的是（）。[2011年]

a.1是n(0,1)分布的0.8413的分位数

b. 0.8413是随机变量u超过1的概率          

c. 0.8413是随机变量u不超过1的概率

d. φ(1)=0.8413，并记为u0.8413=1

e.p(u>1)=0.1587

答案：acde。

标准正态分布的α的分位数uα满足p(x= uα)=α，则1是n（0,1）分布的0.8413分位数；0.8413是归集变量u不超过1的概率。p(u<1)= φ(1)=0.8413，并记为u0.8413=1.由于p(u<1)=08413，所以p(u>1)= 1- p(u<1)= 1-0.8413=0.1587