4.3动力学

本节内容提示：

4.3.1牛顿定律及质点运动微分方程

4.3.2动量定理

4.3.3动量矩定理

4.3.4动能定理

4.3.5达朗贝尔定理

4.3.6质点的直线振动

4.3.1牛顿定律及质点运动微分方程

1.牛顿第一定律

牛顿第一定律——如果质点不受力的作用，那么它或者是静止，或者是作匀速直线运动。

牛顿第一定律表明，任何物体都有保持静止或匀速直线运动状态的属性，该属性习惯上称为惯性。因此牛顿第一定律也称惯性定律。

2.牛顿第二定律

牛顿第二定律——质点受力的作用时所获得的加速度与力的大小成正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与力的方向相同。即

   或 

这是一个矢量表达式，它表明力的方向与加速度方向是一致的。

3.牛顿第三定律

牛顿第三定律——两物体间相互的作用力，总是大小相等，方向相反，并且沿着同一条直线。

牛顿第三定律也称为作用力和反作用力定律。这个定律不仅在物体平衡时适用，而且也适用于作任何形式运动的物体。

牛顿定律所给出的结论只有在惯性参考系才是正确的。

4.质点运动的微分方程

质点受到n个力f₁，f₂，…，f_n作用时，由质点动力学的

基本方程，有

 

 

 

根据质点运动学中描述质点的运动的三种基本方法，可以将

质点的动力学基本方程表示为不同形式的微分方程。

（1）质点运动微分方程的矢量形式 

 

 

 

（2）质点运动微分方程的直角坐标形式 

 

 

 

 

 

 

由牛顿第二定律得

 

 

 

（3）质点运动微分方程的自然坐标形式 

若将课本中的式(6-2)在自然轴系的切线方向、法线方向投影可得质点运动微分方程的自然坐标形式，即

 

 

 

例 质量为m的质点m绕椭圆形路线运动，如图所示其运动方程为

 

方程中a、b、k都是常数，求作用在质点上的力f。

 

解   以质点m为研究对象，将运动方程微分两次得

 

 

 

由牛顿第二定律得

作用在此质点上的力在轴上的投影为

 

 

 

 

 

力f与矢径r共线、反向，这表明，此质点按给定的运动方程作椭圆运动。

4.3.2动量定理

一、质点的动量

质点的动量——设质量为m的质点相对于某一惯性参考系以速度v作运动。质点的动量等于质点的质量与其速度的乘积，即mv。动量是矢量，它的方向与质点速度的方向一致。

二、质点系的动量

质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量，即

 

 

 

 

三、质心的动量

质心——组成质点系各质点的质量及其在空间的位置是不同的。表征质点系中各质点的质量及其位置的分布情况的一个几何点称为质量中心，简称质心。

 

静力学中求质心的公式为

 

 

 

 

其坐标公式为

由于质点系的动量是质点系各质点动量的矢量和，再由质心的定义得

 

 

可见质点系的动量（主矢）等于质点系的总质量与质心速度的乘积。写成投影式为

 

 

 

 

 

 

 

例 求图中各质点系的动量。(1)质量为m，质心速度为 v_c的均质圆盘在水平面上运动；(2)质量为m，长为l的均质杆绕o轴转动的角速度为ω；(3)皮带及皮带轮的质量都是均匀的。 

 

  解  (1)

 

(2)

 

(3)因为皮带及皮带轮的质量均匀分布，系统在任何瞬时的形状与质量分布都是相同的，所以质心的位置固定不动 即

                    故

4.3.3动量矩定理

一、动量矩

1.质点的动量矩

质点q的动量对于o点的矩，定义为质点对点o的动量矩：

质点动量mv在oxy平面的投影（mv)_xy 对于点o的矩，定义为质点动量对于z轴的矩，简称对于z轴的动量矩。

 

质点对于o点的动量矩矢在z轴上的投影，等于对z轴的动量矩。

正负号规定与力对轴矩的规定相同：对着轴看“顺时针为负，逆时针为正”。

 

2.质点系的动量矩

质点系对点o动量矩等于各质点对同一点o的动量矩的矢量和，或者称为质点系动量对点o的主矩，即

 

质点系对某轴z的动量矩等于各质点对同一轴z动量矩的代数和，即

 

所以有

上式表明：质点系对某点o的动量矩矢在通过该点的z轴上的投影等于质点系对于该轴的动量矩。

二、动量矩定理

1.质点的动量矩定理

 

对质点动量矩求一次导数，得

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

因为   得

上式表示质点对任意一定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩，称为质点的动量矩定理。

2．质点系的动量矩定理

对于n个质点，由质点动量矩定理有

 

 

 

 

n个方程相加，有

 

 

 

 

 

由于

 

 

于是

上式表明质点系对于某定点o的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的所有外力对于同一点的矩的矢量和（外力

对点o的主矩），称为质点系的动量矩定理。

4.3.4动能定理

一、质点的动能定理

质点运动微分方程的矢量形式为

 

 

 

两边同时乘以dr得：

 

 

 

由于           故

 

                或

 

积分得                      或

 

 

即在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用在质点的力所作的功。

二、质点系的动能定理

对于由n个质点组成的质点系，其中任意一质点都符合动能定理，即

 

 

 

将所有的质点动能方程相加得

                          

或

 

4.3.5达朗贝尔定理

一、质点的达朗伯原理

设一质点m质量m， 受主动力f和约束力fn ，合力

 

 

 

若令

称为质点的惯性力

 

 

作用在质点上的主动力、约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系，这就是质点的达朗伯原理。

二、质点系的达朗伯原理

对于由n个质点组成的质点系，其中任意一质点i的达朗伯原理表示为

 

 

若将作用在质点i 上的力分为外力合力 和内力合力 ，则

 

 

将各质点外力合力、内力合力与虚加惯性力合力相加得

 

 

因为               

 

故：

 

 

 

4.3.6质点的直线振动

1、质点的自由振动

如图所示，质量为m的物块挂在刚度系数为k的弹簧上，弹簧自然长度 l0,这就构成了典型的单自由度系统，称为弹簧——质量系统。

（1）自由振动微分方程

由平衡条件∑fx=0,得：

mg=kδst

当物块偏离距离x时，微分方程：

md²x=mg-k（δst+x）

即

md²x=-kx

（2）振幅、初相位和频率

无阻尼的自由振动以其静平衡位置为振动中心的简谐振动，其振幅a和初相位角α分别为：

，