5.8弯曲变形

知识点一:挠曲线的微分方程(一般知识点)

在外载（横向外力或力偶）作用下，梁的轴线由直线变为曲线，弯曲后的轴线称梁的挠曲线

在对称弯曲条件下，挠曲线是一条连续、光滑的平面曲线

弯曲变形时，梁轴线上的每一点即存在沿y方向的位移，也存在沿x方向的位移（由于轴线处在中性层，轴线不可伸长）

在小变形的假定下，轴线上的每一点沿x轴方向的位移很小，可以忽略不计，而只考虑沿y方向的位移

轴线上的每一点沿y轴方向的位移称为梁的挠度，即横截面形心在垂直于轴线方向的位移称为梁的挠度。

一般用y = w(x)表示，并且以向上为正

横截面相对于其原位置所转过的角度称为梁的截面转角。一般用(x)表示截面转角，并且以逆时针为正

忽略横截面的剪切变形，变形后的横截面仍保持平面，并且与挠曲线垂直（平截面假设）。则转角等于挠曲线在该点的切线与x轴的夹角¢

刚度条件：

挠度 w 和转角是梁弯曲变形的两个基本量

绕曲线的微分方程：

根据小变形假设：

由于绕曲线极其平坦，|w´|=|| <<1，可近似地认为

梁挠曲线的近似微分方程： 

      

等截面直梁挠曲线微分方程的几种形式

1、  已知梁横截面上的弯矩m(x)：

2、  已知梁横截面上的剪力f_s(x)：

3、  已知梁上的横向载荷q(x)：

知识点二:用积分法求弯曲变形(掌握)

边界条件：

1、  在固定端，挠度和转角都等于0

2、  在铰支座上，挠度等于0

3、  在弯曲变形的对称点上，转角等于0

连续性条件：

在挠曲线的任意点上，有唯一确定的挠度和转角。

例：

边界条件：

连续条件：

 

最大挠度：当，即=0时，w为极值

最大转角：，即m=0时，为极值

知识点三: 用叠加法求弯曲变形(了解)

弯矩，剪力和载荷集度均与挠度无关，仅为坐标 x 的函数

挠曲线方程为线性微分方程，同时，通常边界条件关于挠度也是线性的。因此，从数学上看为线性微分方程边值（初值）问题，叠加原理成立

叠加原理：在若干载荷作用下，梁上任一截面的挠度、转角等于各个载荷单独作用下该截面的挠度、转角之和

剪力由支座承受，不会引起梁的弯曲

例：图示的等截面外伸梁，ab段的抗弯刚度为ei₁， bc段的抗弯刚度为ei₂，在bc段有均布载荷q的作用，求截面c的转角和挠度

对问题 i，由于梁ab段内的剪力和弯矩为零，所以，ab段不发生变形

而 bc段相当于悬臂梁，故问题 i 可等价于问题 i´  

利用悬臂梁的结论，可得梁截面c处的挠度w_1c和转角q_1c分别为

对问题ii ，剪力 qa 由支座 b承受，不会引起梁的弯曲，仅有弯矩 qa²/2 的作用

由于梁bc不受力，仅考虑简支梁ab的弯曲变形，梁截面b处的转角为q_b为

利用连续条件，梁 bc 为直线，梁截面c处的挠度w_2c和转角q_2c分别为

（注意叠加法求挠度时，这段连接处转角乘上长度便知端面挠度，但要取反值：画图便知）

因此，原问题截面c处的总挠度和转角分别为

知识点四:简单超静定梁(了解)

例：如图所示的梁ab，其抗弯刚度为ei，试求梁的支座反力

解除固定端 a，b两处的所有约束。此问题共有六个未知的约束反力。三次超静定问题

利用对称性，可知

利用对称性，问题简化为一次超静定，未知量为弯矩 m_a ( = m_b )

利用对称性，可考虑原问题的一半，由对称性知，梁中间截面 e 只存在弯矩 m_e

由梁的基本变形结论知，在载荷 f 单独作用下，截面 e 处的转角为

在弯矩 m_e单独作用下，截面e处的转角为

根据叠加原理，梁截面 e 处的转角为（变形协调条件）

固定端 a 处的支反力偶为

利用反对称性，求解如下梁的弯曲变形问题