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1.1 向量代数与空间解析几何

1.1.1 向量代数

1.向量：既有大小又有方向的量叫向量

2.向量的运算：

（1）加法：平行四边形法则

（2）数乘：只影响长度

共线：方向相同或相反的向量

共面：平行于同一平面的向量

3.向量的坐标表示

4.向量的数量积

数量积的应用

（1）求向量的模（长度）

（2）判定两个向量垂直

5.向量积

规定为一个向量

大小：

方向：与均垂直

方向符合右手系

性质：

向量积的应用

1.求面积：的模（长度）是

2.两向量平行：

3.求同时垂直于两个向量的（单位）向量

1.1.2 平面与直线

1.平面方程

1.点法式：平面过点，且法向量是

2.平面的一般方程

2.平面与平面的平行、垂直条件

两平面垂直：

两平面平行：

3.空间直线的方程

（1）直线的一般方程

（2）直线的对称式方程：过点，方向向量的直线方程为

（3）直线的参数方程

4.两直线的垂直、平行条件

设两直线为

两直线垂直：

两直线平行：

5.直线和平面的相互关系

设平面方程为

直线方程为

直线和平面垂直：

直线和平面平行：

1.1.3曲面及其方程

1.柱面方程

表示母线平行于轴的柱面

表示母线平行于轴的柱面

表示母线平行于轴的柱面

2.圆锥面方程

3.旋转面方程

由曲线绕轴旋转一周

面的方程

4.二次曲面

椭球面：

单叶双曲面方程

双叶双曲面方程

椭圆抛物面方程

双曲抛物面方程

典型例题

1.

2. 互相垂直，则t=

3. 三个向量共面，则t=____c____

a.1或2 b.-1或-2 c.2或-2 d.1或-2

4.直线过点，方向向量为,以下选项，哪个不是它的方程？ a

a. b.

c. d.

5.直线与直线相交，则t=______d

a.-1 b.0 c.2 d.1

解：其方向向量分别为

显然不平行。易知分别过

所以，要便其平行，必有共面。

6.过点的平面方程是 a

a.x+y-1=0 b.x+y+1=0

c.x+z-1=0 d.y+z-1=0

解：易知平面的法向量为

且过点，所以其方程为

7.设平面的方程是x-z=1，则以下选项错误的是 b

a.平面过（1，0，0），法向量是-i+k

b.平面过（1，0，1），法向量是i-k

c.平面过（0，1，-1），法向量是i-k

d.平面过（1，1，0），法向量是-i+k

解：易知平面的法向量为n=i-k或-i+k，所以四个选项均可，将（1，0，1）代入方程不成立，选b。

8.过点(-1,0,1)，与平面3x+y+1=0垂直的直线方程为 d

a.x=3t+1,y=t,z=1 b.x=3t-1,y=-t,z=0

c. d.

解：易知，直线的方向为n=3i+j或-3i-j，故a、c、d符合，又过(-1,0,1)，所以选d。

9.过直线和的平面方程为 a

a.x-z-2=0 b.x+z=0

c.x-2y+z=0 d.x+y+z=0

解：两直线的方向都是l=(2,3,2)，所以平行，又因为直线分别过a(-1,2,-3),b(3,-1,1)，所以平面的方程向量垂直于ab和两直线，故其方向为

或i-k，只有a满足。

10.已知平面x-y+3z+1=0与直线1-x=y-1=(z+3)/-3，直线与平面 c

a.相交但不垂直 b.平行

c.垂直 d.重合

解：易知平面的法向量和直线的方向向量都是（1，-1，3），所以二者垂直。

11.下列方程中表示母线平行于y轴的圆柱面方程是 c

a.x²+y²+z²=1 b. x²+y²=1

c. x²+z²=1 d. y²+z²=1

12.将xoy坐标面上的抛物线y=x²绕y轴旋转一周所生成的旋转面的方程是 a

a. x²+z²=y b. y²+z²=x⁴

c. x²+z²=y² d. x²+z²=y⁴

13.方程2x²-y²-2z²=1在三维空间中表示 b

a.单叶双曲面 b.双叶双曲面

c.椭球面 d.椭圆柱面

14.方程x²+y²+z²-4y-1=0在三维空间中表示 c

a.平面 b.旋转面

c.球面 d.不表示任何图形

解：x²+（y-2）²+z²=5，所以表示球面