1.2  微分学

1.2.1  函数极限与连续

1.函数

两个变量之间的对应关系，它要求一个变量确定，则另一个变量唯一确定。

（1）有界性：|f(x)|£m

（2）单调性：若x<y，必有f(x)<f(y)，则称f(x)递增，若f(x)>f(y)，则称其递减

（3）奇偶性：若f(-x)=f(x)，则称偶函数，若 f(-x)=-f(x)，则称其为奇函数

（4）周期性：若存在t，使得f(x+t)=f(x)，则称其为以t为周期的周期函数

基本初等函数

（1）常数y=c

（2）指数函数y=a^x   

（3）幂函数y=x^a   

（4）对数函数y=log_a^x  

（5）三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx

     y=secx,y=cscx

（6）反三角函数y=arcsinx,y=arccosx

     y=arctanx,y=arccotx

初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算或复合而构成的函数。

2.极限

 

极限存在的两个定理及两个重要极限

夹逼定理：

单调有界准则：单调有界数列必有极限

第一个重要极限

第二个重要极限 

无穷小有关理论

（1）定义：以0为极限的变量

           有限个无穷小之和是无穷小

           有限个无穷小之积是无穷小

           有界变量与无穷小之积是无穷小

（2）

     其中 是同过程下的无穷小

（3）某一过程中绝对值是无穷大的变量称为无穷大

（4）同一过程下的无穷大与无穷小互为倒数关系

（1）高阶无穷小

（2）同阶无穷小

（3）等价无穷小

（4）求极限时等价无穷小可以相互替换（乘法）

（5）

     

3.连续

（1）

（2）有界性定理

（3）最值存在定理

（4）零点存在定理

1.2.2 一元函数微分学

1.导数

2.导数公式与求导法则

基本求导公式

求导法则

链式法则

3.微分dy=y’dx

          

        

                              

            

基本微分公式

运算法则

 

微分的一阶形式不变性

4.中值定理与泰勒公式

（1）中值定理

罗尔定理：函数f(x)满足

1.在[a,b]上连续；

2.在(a,b)内可导；

3.f(a)=f(b)

则在开区间(a,b)内存在一点c，使f’(c)=0

拉格朗日定理：函数f(x)满足

1.在[a,b]上连续；

2.在(a,b)内可导；

则在开区间(a,b)内存在一点c，使

f’(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)

柯西定理：函数f(x)，g(x)满足

1.在[a,b]上连续；

2.在(a,b)内可导，g’(x)¹0；

则在开区间(a,b)内存在一点c，使

 

（2）泰勒公式

                                             

                

（3）洛比达法则

            

    

   

     

5.函数的极值和最大值与最小值

                               

 

 

6.曲线的凹凸、拐点

典型例题

1.函数在   b

a.单调增

b.单调减

c.有界

d.偶函数

2.下列极限不正确的是  a

               

              

3.下列哪个是无穷小   a

           

       

4.与x等价的无穷小是  b

           

               

5.已知，则  b

               

         

6.在x=-1处连续的函数是    d

         

                 

7.下列数列不收敛的是    b

                   

                       

8.设函数f(x)在x₀ 处可导，则  d

                  

9.   导数为1的点  a

           

          

10.已知  ，则   a

       

        

11.设函数f(x)可微，则在点x处，当时 ,是  a

a.高阶无穷小                b.低阶无穷小

c.等价无穷小                d.同阶不等价无穷小

 

12.  确定y是x的函数，则在点(1,1)处的切线斜率是 c

a.3         b.2         c.1         d.0

 

13. f(x)二阶可导，且  ，则   d

    

14.设f(x)是偶数，若f’(-x₀ )=-k¹0，则f’(x₀ )=   b

a.-k                b.k         c.-1/k      d.1/k

 

15.函数f(x)在x₀ 处取极大值，则   d

                          

                或导数不存在