1.6  线性代数

知识点一  行列式

行列式是线性代数的基础，是讨论矩阵、向量、线性方程组的有力工具，本节的重点在于了解行列式的概念，掌握行列式的性质，会利用行列式的性质和展开定理熟练计算3、4阶行列式和简单高阶行列式，不必追求行列式的计算技巧。

1.行列式的概念

 

2.行列式的性质

性质1：行列式中行列互换，其值不变。

性质2：行列式中两行（列）对换，其值交号。

性质3：行列式中如果某行（列）元素有公因子，可以将公因子提到行列式外。

性质4：行列式中如果有一行（列）每个元素都由两个数之和组成，行列式可以拆成两个行列式的和。

性质5：行列式中如果两行（列）元素对应相等，则行列式的值为0。

性质6：行列式中如果两行（列）元素对应成比例，则行列式值为0。

性质7：行列式中如果有一行（列）元素全为0，则行列式的值为0。

性质8：行列式某行（列）元素的k倍加到另一行（列），其值不变。

知识点二  矩阵

矩阵是矩形数表，除了矩阵加法和数乘这两种运算和普通数的加法和乘法有相同的 运算性质外，其他运算如乘法有其独特的运算性质。矩阵没有除法，方阵有逆矩阵的 概念，要掌握逆矩阵的性质，并会用各种方法准确求出逆矩阵。

矩阵的初等变换是研究矩阵的各种性质及应用矩阵解决各种问题的有力工具，要学会正确使用。矩阵的秩 是反映矩阵本质的重要概念，不但要学会求给定矩阵的秩，而且还要会用矩阵的秩来解决一系列问题。

1.矩阵的概念

 

2.矩阵的运算

（1）相等：

（2）零矩阵：所有元素都是0

（3）负矩阵：

（4）数乘：每个元素均倍乘

（5）加法：对应元素相加

（6）减法：对应元素相减

（7）矩阵乘法

矩阵加法运算性质：

1)交换律a+b=b+a。

2)结合律a+（b+c）=(a+b )+c。

3)有零矩阵0，对任意矩阵a，a+0 =0+a=a

4)任意矩阵a，都有负矩阵-a，使得 a+(-a) =0

数乘性质

设k、l是两个常数，a、b是同型矩阵，则

1)1a =a,0a =0

2)k(la)=（kl）a

3)k(a+b)=ka +kb

4) (k+l)a= ka +la

矩阵的乘法

乘法性质

1)结合律a(bc)=(ab)c

2)分配律 (a+b)c=ac+bc

         c(a+b)=ca+cb

3)k是常数，则

   k(ab)=(ka)b =a(kb)

矩阵的转置

3.逆矩阵

定义：设a是n阶方阵，如果存在n阶方阵b，使得ab=ba=i成立，则称a为可逆矩阵，b是a的逆矩阵。

定理：矩阵可逆的充分必要条件是矩阵的行列式不等于0。

4.对角矩阵

5．矩阵的初等变换与初等矩阵

行的初等变换

1)交换第i行和第j行。

2)用一个非零常数乘矩阵某一行的每个元素。

3)把矩阵某一行的元素的k倍加到另一行。

列的初等变换

1)交换第i列和第j列。

2)用一个非零常数乘矩阵某一列的每个元素。

3)把矩阵某一列的元素的k倍加到另一列。

初等矩阵

 

 

 

初等矩阵的作用

初等矩阵与初等变换有着密切的关系：左乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩阵相应类型一样的初等行变换；右乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩阵相应类型一样的初等列变换。

定义：若矩阵b可以由矩阵a经过一系列初等变换得到，则称矩阵a和b等价。

矩阵的等价是同型矩阵之间的一种关系，它具有如下性质：

1)反身性：任何矩阵和自己等价。

2)对称性：若矩阵a和矩阵b等价，则矩阵b和矩阵a也等价。

3)传递性：若矩阵a和矩阵b等价，矩阵b和矩阵c等价，则矩阵a和矩阵c等价。

矩阵的标准形

任何矩阵都可经过初等变换得到以下形式

称为矩阵的标准形

矩阵的秩

子式：在mxn矩阵a中，任取k行k列，位于这k行k列交叉处的k²个元素按其原来的次序组成一个k阶行列式，称为矩阵a的一个k阶子式。

若矩阵a中有一个r阶子式不为零，而所有r +1阶子式全为零，则称矩阵a的秩为r，矩阵a的秩记作r(a)。

零矩阵的秩规定为零。

秩的性质

r(a)≥r a中有一个r阶子式不为零；

r(a)≤r a中所有r+1阶子式全为零。

若n阶方阵a，有r(a)=n，则称a是满秩方阵。

对于n阶方阵a，

 

伴随矩阵